Enunciado

Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f ( x ) . Em cada caso, determine f - 1 ( x ) e identifique o domínio e a imagem de f - 1 . Para conferir, mostre que f f - 1 x = f - 1 f x = x .

33. f x = x 2 - 2 x ,   x ≤ 1

Passo 1

Para fazermos a inversa da função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função x = f ( y ) , isto é, isolar a variável x na função (supondo que x seja a variável) e em seguida trocarmos as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é y = f ( x ) , tranquilo? Se liga!

Passo 2

Como a função que nos foi dada é y = x 2 - 2 x , antes de escrevermos x = f ( y ) , devemos completar quadrado nessa função para que consigamos escrever a inversa, beleza?

Temos que: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b ²

Na nossa função temos que:

- 2 x =   - 2 . x . b

∴ b = 1  

Agora que descobrimos o valor de b , basta somarmos e subtrairmos esse valor na função original, olha só:

y = x 2 - 2 x + 1 - 1

y = x - 1 2 - 1

Agora sim, escrevendo x = f ( y ) , temos:

x - 1 2 = y + 1

x - 1 =   - y + 1

∴ x =   - y + 1 + 1 ,   x ≤ 1

Passo 3

Agora que encontramos a função x = f ( y ) , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é y = f ( x ) . Sendo assim, a inversa da f será:

y =   - x + 1 + 1

∴ f - 1 x =   - x + 1 + 1

Passo 4

Quanto ao domínio e imagem, galera, temos que seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, temos que:

Domínio de f x = ( - ∞ ,   1 ]

Imagem de f x = [ - 1 ,   ∞ )  

Domínio de f - 1 x = - 1 ,   ∞

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   1 ]

Passo 5

Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização, vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, de fato, inversa!

f f - 1 x → Inversa dentro da função;

f - 1 f x → Função dentro da inversa.

f f - 1 x = - x + 1 + 1 - 1 2 - 1  

∴ f f - 1 x =   x + 1 - 1 = x

f - 1 f x = - x - 1 2 - 1 + 1 + 1  

∴ f - 1 f x =   x - 1 + 1 = x

Dessa forma, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!

Resposta

f - 1 x =   - x + 1 + 1

Domínio de f - 1 x = - 1 ,   ∞

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   1 ]

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