Enunciado

Use a definição de derivada para encontrar f ' x e f ' ' x . A seguir, trace f ,   f '   e   f ' ' em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.

f x = 1 / x

Passo 1

Faaala, gente bonita! Tudo certinho com vocês?

Essa questãozinha pede pra trabalharmos com a definição de derivadas. Então vamos começar relembrando essa expressão:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Iremos utilizar essa relação pra calcular a primeira derivada f ' x e a segunda derivada f ' ' x da função f x = 1 / x .

Mas como fazemos pra achar a segunda derivada com a definição? É só lembrarmos que a segunda derivada é a derivada da própria derivada. Então a definição fica assim:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x h

Após isso, a questão pede pra utilizarmos uma calculadora gráfica para encontrar os gráficos das derivadas e checarmos se são compatíveis com os nossos resultados.

Vamos lá juntos!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função f x = 1 / x usando a definição da derivada: f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

O termo f x + h pode ser escrito da seguinte forma:

f x + h = 1 x + h

Aplicando na definição, temos:

f ' x = lim h �� 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h

Simplificando a expressão, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x - x - h x x + h h = lim h → 0 ⁡ - h x x + h h

Reorganizando a fração:

f ' x = lim h → 0 ⁡ - h x x + h h = lim h → 0 ⁡ - 1 x x + h

Legal! Agora podemos aplicar o valor do limite.

f ' x = - 1 x x + 0 → f ' x = - 1 x 2

Vamos calcular a próxima derivada!

Passo 3

Agora, podemos calcular a segunda derivada!

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x h

O termo f ' x + h pode ser escrito assim:

f ' x + h = - 1 x + h 2

Aplicando na definição, temos:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ - 1 x + h 2 + 1 x 2 h

Simplificando a expressão, temos:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ - x 2 + x + h 2 x 2 x + h 2 h

Realizando o produto notável:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ - x 2 + x 2 + 2 x h + h 2 x 2 x + h 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 x 2 x + h 2 h

Organizando a fração:

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ h 2 x + h x 2 x + h 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h x 2 x + h 2

Aplicando o limite, temos:

f ' ' x = 2 x + 0 x 2 x + 0 2 = 2 x x 4

Logo, temos que:

f ' ' x = 2 x 3

Passo 4

Boa! Conseguimos encontrar os valores da primeira e da segunda derivada da expressão dada:

f x = 1 x

f ' x = - 1 x 2

f ' ' x = 2 x 3

Agora vamos utilizar uma calculadora gráfica para esboçar os gráficos :

Para avaliarmos se faz sentido com o que encontramos, precisamos lembrar que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. Isso significa que:

Se a função for crescente, sua derivada será positiva.

Se a função for decrescente, sua derivada será negativa.

Percebemos que a função f x = 1 x , em preto, tem o seguinte comportamento:

→   É decrescente pra x < 0 ;

→   Não está definida em x = 0 ;

É decrescente pra x > 0 .

Isso significa que o gráfico da derivada f ' x = - 1 x 2 , em rosa, precisa ter seus sinais da seguinte maneira:

Negativa pra x < 0 ;

Não estar definida em x = 0 ;

Negativa pra x > 0 .

E é exatamente o que encontramos no gráfico. Vamos continuar a nossa análise!

Podemos ver que a derivada f ' x = - 1 x 2 tem o seguinte comportamento:

→   É decrescente pra x < 0 ;

→   Não está definida em x = 0 ;

É decrescente pra x > 0 .

Isso significa que o gráfico da segunda derivada f ' ' x = 2 x 3 , em lilás, precisa ter seus sinais da seguinte maneira:

Negativa pra x < 0 ;

Não estar definida em x = 0 ;

Positiva pra x > 0 .

Está batendo com o que encontramos no gráfico! Oba!

Resposta

f ' x = - 1 x 2

f ' ' x = 2 x 3

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