Enunciado

Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:

f x = 1 x 2 + 5 x - 6

Passo 1

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 + 5 x - 6 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 6

x = 1

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → - 6 + ⁡ f x

E

lim x → - 6 - ⁡ f x

Depois devemos fazer

lim x → 1 + ⁡ f x

E

lim x → 1 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com

lim x → - 6 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 6 + ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 6 , neste caso, pela direita.

A primeira coisa que devemos fazer é fatorar aquele denominador. Aproveitando que já sabemos as raízes dessa expressão de 2 º grau.

x 2 + 5 x - 6 = x - - 6 x - 1 = x + 6 x - 1

Nossa fração vai ficar

5 x + 6 x - 1

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 6 , logo que é x + 3 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Além disso, x - 1 vai ser um termo negativo, porque o x assume valores próximos de - 6 e - 6 - 1 = - 7 .

O denominador assim vai ser negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 6 + ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = - ∞

Passo 3

Começando com

lim x → - 6 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 6 - ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 6 , neste caso, pela esquerda.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 6 x - 1

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 6 , logo que é x + 3 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Além disso, x - 1 vai ser um termo negativo, porque o x assume valores próximos de - 6 e - 6 - 1 = - 7 .

O denominador assim vai ser positivo.

E isso nos diz que

lim x → - 6 - ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = + ∞

Passo 4

Agora para os valores de x = 1

lim x → 1 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 5 + ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 1 , neste caso, pela direita.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 6 x - 1

Pela direita, significa pegar valores maiores que 1 , logo que é x - 1 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Além disso, x + 6 vai ser um termo positivo, porque x assume valores próximos de 1 e 1 + 6 = 7 .

O denominador assim vai ser positivo.

E isso nos diz que

lim x → 1 + ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = + ∞

Passo 5

Começando com

lim x → 1 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 1 - ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 1 , neste caso, pela esquerda.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 6 x - 1

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 1 , logo que é x - 1 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Além disso, x + 6 vai ser um termo positivo, porque x assume valores próximos de 1 e 1 + 6 = 7 .

O denominador assim vai ser negativo.

E isso nos diz que

lim x → 1 - ⁡ 1 x 2 + 5 x - 6 = - ∞

Passo 6

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 6

E

x = 1

São assíntotas verticais.

Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntotas verticais:

x = - 6

x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

l i m x → 0 - x 2 - 1 2 x + 4
lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 2 x + 4
Determine o limite l i m x → 1 - 1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3
Determine o limite l i m t → 0 -2 - 3 t 1 3
Determine o limite l i m x → 0 -1 x 2 3 + 2 x - 1 2 3