Enunciado

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

O Método de Newton usa a reta tangente a y = f ( x ) em x = x n para calcular x n + 1 .

Passo 1

Essa afirmação é verdadeira! Porque se a gente olhar para a dedução do método, veremos que ele usa a reta tangente:

-Pegamos um valor próximo do que deve ser a raiz da função: x 0

-A reta tangente à função nesse ponto é:

y - f x 1 = f ' x 1 ( x - x 1 )

-Se f x 1 ≠ 0 , ela não é raiz e podemos pegar um próximo valor.

-Se f ' x 1 ≠ 0 , a reta tangente não é horizontal e, portanto, ela corta o eixo x em algum ponto ( x 2 , 0 ) . Substutindo isso na reta:

- f x 1 = f ' ( x 1 ) ( x 2 - x 1 )

E arrumando esse cara, chegamos na fórmula para o Método de Newton:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Que, num caso geral fica:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n , com n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Logo, podemos ver que ele, de fato usa a reta tangente a y = f ( x ) em x = x n para achar x n + 1 .

Resposta

Verdadeira. Explicação no passo a passo.

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