Enunciado

Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a grandeza da força é

F = μ W μ s e n θ + cos ⁡ θ

Onde μ é uma constante chamada coeficiente de atrito

  1. Encontre a taxa de variação de F em relação a θ
  2. Quando essa taxa de variação é igual a 0?
  3. Se W = 50   l b e μ = 0,6 , faça o gráfico de F como uma função de θ e use-o para localizar o valor de θ para o qual d F d θ = 0 . Esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b)

Passo 1

Opa, bora lá!

a) Inicialmente, ele nos pede para encontrarmos a derivada de F em relação a θ . Então vamos lá!

F = μ W μ s e n θ + cos ⁡ θ

Usando a regra do quociente, temos:

d F d θ = μ W ' μ s e n θ + cos ⁡ θ - μ W μ s e n θ + cos ⁡ θ ' μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

Como μ W é uma constante, temos:

d F d θ = 0 × μ s e n θ + cos ⁡ θ - μ W μ c o s θ - s e n θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

Logo,

d F d θ = μ W μ c o s θ - s e n θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

Passo 2

b) Agora vamos ver quando essa derivada será zero. Vem comigo!

d F d θ = 0

Então,

μ W μ c o s θ - s e n θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Agora basta fazermos o numerador igual a zero. Como μ W ≠ 0 :

μ c o s θ - s e n θ = 0

Assim,

t g θ = μ

Então

θ = a r c t g μ + k π , k ∈ Z

Portanto, a derivada será nula quando θ = a r c t g μ

Passo 3

c) Se W = 50   l b e μ = 0,6 :

F = 30 3 5 s e n θ + cos ⁡ θ

Fazendo um gráfico para a situação que ele nos descreve:

Pelo gráfico, vemos que os ponto onde d F d θ = 0 :

θ 1 = 0,54

θ 2 = 3,682

Do item (b):

  θ = a r c t g 0,6 + k π

Para k = 0 :

θ 1 = 0,540

Para k = 1 :

θ 2 = 0,682

O que verifica que o valor é consistente.

Prontinho!

Resposta

  1. d F d θ = μ W μ c o s θ - s e n θ μ s e n θ + cos ⁡ θ 2

θ = a r c t g μ + k π , k ∈ Z

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