Enunciado

Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão de f. Dê razões para suas escolhas.

(a) Esta curva é o gráfico de f.

(b) Esta curva é o gráfico de f ' .

(c) Esta curva é o gráfico de f ' ' .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá o seguinte gráfico de uma função:

A questão quer que indiquemos as coordenadas x dos pontos de inflexão se esse gráfico for de uma função f x , f ' x ou f ' ' x .

Bom... Algumas vezes na nossa vida chegamos a um ponto que sentimos que temos que mudar algo, né não? Na matemática também acontece. Assim é o ponto de inflexão, onde a concavidade se revolta e muda de direção hehe.

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando o gráfico de f :

O ponto de inflexão é em x = 3 pois a concavidade muda de baixo para cima.

E também em x = 5 , onde a concavidade muda de cima para baixo.

Passo 3

Para o gráfico de f ' , usamos o teste da Primeira Derivada.

Precisamos encontrar os pontos máximos e mínimos.

Para um valor de máximo temos x = 2 e x = 6 e é onde f ' ' ( x ) , muda de positivo para negativo.

Em x = 4 , f ' ( x ) é um mínimo, onde f ' ' ( x ) , muda de negativo para positivo.

Passo 4

Para o gráfico de f ' ' , usamos o teste da Segunda Derivada.

Esse teste nos diz que f ' c = 0 e f ' ' c > 0 então f tem um mínimo local.

Esse ponto é em x = 1 , porque   f ' ' ( x ) muda de negativo para positivo lá e, portanto, o gráfico muda de côncavo para baixo para côncavo para cima.

Para f ' c = 0 e f ' ' c < 0 então f tem um máximo local.

Esse ponto é em x = 7 , porque f ' ' ( x ) muda de positivo para negativo lá, e assim o gráfico muda de côncavo para cima e côncavo para baixo.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(a) x = 3 , pois a concavidade muda de baixo para cima. E também em x = 5 , onde a concavidade muda de cima para baixo.

(b) Para um valor de máximo temos x = 2 , x = 6 e em x = 4 , f ' ( x ) é um mínimo.

(c) Em x = 1 e em x = 7 .

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