Enunciado

Estima-se que um operário de uma oficina que fabrica molduras para quadros possa pintar y molduras, x horas após ter começado a trabalhar às 8 da manhã, e

y = 3 x + 8 x ² - x 3             0 ≥ x ≤ 4

Ache o momento em que o operário está trabalhando mais eficientemente (isto é, em que instantes ele atinge o ponto de diminuição do retorno?).

Passo 1

Se f ( x ) representa quantas unidades de moldura foram feitas após x horas de trabalho, então f ' ( x ) é a taxa de variação de f ( x ) em relação a x . O ponto de diminuição do retorno é o ponto onde o operário está produzindo com maior eficiência, e é um ponto de inflexão do gráfico.

Sendo assim, nós precisamos achar o ponto x onde f ' ' x = 0 .

f ( x ) = 3 x + 8 x ² - x 3

f ' ( x ) = 3 + 16 x - 3 x 2

f ' ' ( x ) = 16 - 6 x

Igualando a 0:

16 - 6 x = 0

x = 8 3

Analisando a direção da concavidade:

Quando x = 8 3 , temos 2 horas e 40 minutos depois das 8 horas.

Desenhando o gráfico da função para comprovarmos o que foi visto:

Resposta

O trabalhador está produzindo com maior eficiência às 10 horas e 40 minutos.

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