Encontre a derivada da função

28) y = (e^u - e^(-u)) / (e^u + e^(-u))

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei lhe ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos resolver essa derivada. Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma divisão entre as funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra do Quociente! A regra do quociente é assim meu nobre amigo:

𝑑 𝑑 𝑥 𝑢 𝑣 = 𝑣 𝑢 ′ − 𝑢 𝑣 ′ 𝑣 2

Para começar vamos chamar:

f u = e u -   e - u

g u = e u +   e - u

Também vamos precisar das suas derivadas. Isso fica para o próximo passo.

Passo 2

Nós temos a função − 𝑢   no expoente, e neste caso usamos a Regra da Cadeia. Pois temos aqui uma função dentro de outra função.

A regra da cadeia funciona assim:

𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = 𝑑 𝑦 𝑑 𝑧 𝑑 𝑧 𝑑 𝑥

Para 𝑒 − 𝑢 :

𝑦 = 𝑒 − 𝑢

𝑑 𝑦 𝑑 𝑢 = 𝑑 𝑒 𝑧 𝑑 𝑧 𝑑 − 𝑢 𝑑 𝑢

𝑑 𝑦 𝑑 𝑢 = 𝑒 − 𝑢 − 1

Passo 3

Agora com as derivadas em mãos:

f ' ( u ) = e u +   e - u

g ' ( u ) = e u -   e - u

Aplicando a Regra do Quociente:

y ' = e u +   e - u e u +   e - u - ( e u -   e - u ) ( e u -   e - u ) ( e u +   e - u ) ²

Organizando:

y ' = e u +   e - u ² -   ( e u -   e - u ) ² ( e u +   e - u ) ²

Realizando os produtos notáveis:

𝑦 ′ = 𝑒 2 𝑢 + 2 𝑒 𝑢 𝑒 − 𝑢 + 𝑒 − 2 𝑢 − 𝑒 2 𝑢 − 2 𝑒 𝑢 𝑒 − 𝑢 + 𝑒 − 2 𝑢 𝑒 𝑢 + 𝑢 − 𝑢 2

Cancelando os termos de sinais opostos, temos:

𝑦 ′ = 2 𝑒 𝑢 𝑒 − 𝑢 + 2 𝑒 𝑢 𝑒 − 𝑢 𝑒 𝑢 + 𝑢 − 𝑢 2

Agora finalmente temos nosso resultado:

y ' = 4 ( e u +   e - u ) ²

Resposta

y ' = 4 ( e u +   e - u ) ²

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