Calcule:

lim x->1 (x^1000 - 1) / (x - 1)

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

O limite que temos que calcular é:

l i m x → 1   x 1000     - 1 x - 1

Pô, esse limite tem uma cara engraçada, afinal temos uma diferença em cima e outra em baixo.

Isso lembra um pouco a definição de derivada, né?

f ' x = l i m ∆ x → 0   f x + ∆ x - f x ∆ x

Será então que eles são iguais?

Bora ver! 😊

Passo 2

Pra serem iguais, tem que ser comparáveis! Portanto, como existe um termo x 1000     no numerador, vamos tentar escolher:

f x = x 1000

Pela definição de derivada, ficamos com:

x 1000     ' = l i m ∆ x → 0   x + ∆ x 1000     - x 1000     ∆ x

1000 ∙ x 999 = l i m ∆ x → 0   x + ∆ x 1000     - x 1000     ∆ x

Ok ok, mas como isso ajuda a gente? Saca só, o limite do enunciado não é x → 1 ? O que acontece se substituirmos x = 1 dentro da equação?

1000 ∙ 1 999 = l i m ∆ x → 0   1 + ∆ x 1000     - 1 1000     ∆ x

1000 = l i m ∆ x → 0   1 + ∆ x 1000     - 1 ∆ x

E se substituirmos:

∆ x = x - 1

Ficamos com:

1000 = l i m x - 1 → 0   1 + x - 1 1000     - 1 x - 1

1000 = l i m x → 1   x 1000     - 1 x - 1

Opa! Limite do enunciado encontrado!

Loucura, né? O que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

l i m x → 1   x 1000     - 1 x - 1 = 1000

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