Enunciado

Um fabricante de telhados metálicos corrugados quer produzir painéis que tenham 60 cm de largura e 4 cm de espessura processando folhas planas de metal como mostrado na figura. O perfil do telhado tem o formato de uma onda senoidal. Verifique que a senoide tem a equação y = 2   s e n   π x 15 e calcule a largura w de uma folha metálica que é necessária para fazer um painel de 60 cm. (Use sua calculadora para calcular a integral correta até quatro algarismos significativos.)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a largura w de uma folha metálica que é necessária para fazer um painel de 60 cm, sabendo que os painéis tem 4 cm de espessura e que o formato senoidal deles são descritos pela equação:

y = 2 sin ⁡ π x 15

A largura w é exatamente o comprimento da senoide fazendo x variar de 0 até 60 . Assim, usando a fórmula do comprimento de arco, temos que:

w = ∫ 0 60 1 + y ' 2   d x

Então, precisamos apenas calcular a derivada de y e substituir na fórmula para calcular a integral do comprimento.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y :

y ' = 2 π 15 cos ⁡ π x 15

Agora elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:

1 + y ' 2 = 1 + 4 π 2 225 cos 2 ⁡ π x 15

Assim, substituindo na fórmula do passo 1 , obtemos:

w = ∫ 0 60 1 + 4 π 2 225 cos 2 ⁡ π x 15   d x

Eu sei que você deve estar pensando que é impossível calcular essa integral, de fato, na mão seria muito difícil...

Mas nem tudo está perdido, veja que a questão pede para você calcular a integral usando uma calculadora gráfica ou um software. Desta forma, recorrendo a um computador, obtemos

w = 62,55   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

62,55   m

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Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas: ρ = 1 ρ = 2 - 2 c o s ⁡ ( θ )
Calcule a área da região dada (coordenadas polares): ρ ² = cos ⁡ θ( p ≥ 0 ) ²
Calcule a área limitada pela curva (coordenadas polares) : ρ = 2 - c o s ⁡ ( θ )