Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar dois limites, um contendo cada limite da integral. Fazendo isso:

∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 2 d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 d x

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em valores inteiros.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) pelo método direto, teremos que:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 2 d x = lim a → 0 + ⁡ - 1 x | 1 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 2 d x = lim a → 0 + ⁡ - 1 + 1 a

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x 2 d x = + ∞

Como o limite resultou em um valor infinito, a integral é divergente.

Resposta

∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x = + ∞

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