Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^(+ oo) (1)/(x^2) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^(+ oo) (1)/(x^2) d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar dois limites, um contendo cada limite da integral. Fazendo isso:

int_0^(+ oo) (1)/(x^2) d x = underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (1)/(x^2) d x + underset(b -> + oo)(lim) int_1^b (1)/(x^2) d x

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em valores inteiros.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) pelo método direto, teremos que:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (1)/(x^2) d x = underset(a -> 0^+)(lim) [- (1)/(x)] | [[1],[a]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (1)/(x^2) d x = underset(a -> 0^+)(lim) [- 1 + (1)/(a)]

Logo:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^1 (1)/(x^2) d x = + oo

Como o limite resultou em um valor infinito, a integral é divergente.

Resposta

int_0^(+ oo) (1)/(x^2) d x = + oo

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