Enunciado

Em cada parte, determine os valores de x com os quais F ( x ) é positiva, negativa ou zero, sem efetuar a integração. Explique seu raciocínio.

(a) F x = ∫ 1 x t 4 t 2 + 3 d t

(b) F x = ∫ - 1 x 4 - t 2 d t

Passo 1

Para cada caso, começamos aplicando o Teorema fundamental do calculo. Assim, para a letra (a), temos:

F ' ( x ) = ∫ 1 x t 4 t 2 + 3 d t = x 4 x 2 + 3

Como o intervalo de integração dado é de [ 1 , x ] , temos portanto que F ( x ) será zero quando x = 1 , positiva se x > 1 e negativa se x < 1 .

Passo 2

Para o item (b), fazemos o mesmo:

F ' ( x ) = ∫ - 1 x 4 - t 2 d t = 4 - x 2

Encontrando o zero da função, temos:

4 - x 2 = 0       ∴     x ' = - 2       e   x ' ' =   2

Como o intervalo de integração dado é de [ - 1 , x ] , temos portanto que F ( x ) será zero quando x = - 1 , positiva se - 1 < x ≤ 2 e negativa se - 2 ≤ x ≤ - 1 .

Resposta

(a)   F ( x ) será zero quando x = 1 , positiva se x > 1 e negativa se x < 1 .

(b)   F ( x ) será zero quando x = - 1 , positiva se - 1 < x ≤ 2 e negativa se - 2 ≤ x ≤ - 1 .

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Use os resultados do exercício 24 para encontrar a derivada:(a) d d x ∫ x π c o s ⁡ ( t 3 ) d t (b) d d x ∫ tan ⁡ x 3 t 2 1 + t 2 d t
Expresse a quantidade dada como uma potência de e .(a) 3 π (b) 2 2
Mostre que:(a) d d y ∫ x a f ( t ) d t = - f ( x ) (b) d d y ∫ g ( x ) a f ( t ) d t = - f g x g ' ( x )
Simplifique a expressão e obtenha os valores de x com os quais sua simplificação seja válida. (g) ln ⁡ e x - x 3
Determine se a equação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 1 1 / a 1 t d t = - ∫ 1 a 1 t d t , com 0a