Enunciado

Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos.

a)   f ( x )   =   x 2   -   3 x   -   1 ;   ( - ∞   ,   + ∞ )

b) f x = x 3 -   3 x   –   2 ;   - ∞   ,   + ∞

c) f ( x )   =   e x / x 2   ;   ( 0 ,   + ∞ )

d) f ( x )   =   x x   ;   ( 0 ,   + ∞ )

Passo 1

(a)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

  f ' x = x 2   -   3 x   -   1 ' = 2 x - 3

f ' x =   2 x - 3 =   0               ⇒     x = 3 2

Como é função do segundo grau e o coeficiente do termo de maior grau é positivo, é uma parábola com carinha feliz😊. Só tem mínimo.

o valor m desse mínimo será f 3 2 :

f 3 2   =   3 2 2   -   3 3 2   -   1 = - 13 4

m = - 13 4

Passo 2

(b)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

f ' x = x 3 -   3 x   –   2 ' = 3 x 2 - 3

f ' x =   3 x 2 - 3 =   0               ⇒     x = ± 1

Achando f 1 e f - 1 :

f x = x 3 -   3 x -   2             ⇒ x = 1           f 1 =   1 3 -   3 1 -   2             ∴           f 1 = - 4

E:

f x = x 3 -   3 x -   2             ⇒ x = - 1           f - 1 =   - 1 3 -   3 - 1 -   2             ∴           f - 1 = 0

Então,

p a r a   o   m í n i m o   x = 1   e   m = - 4

p a r a   o   m á x i m o ,   x = - 1   e   m = 0

Opa opa, mas será que esses caras são absolutos ou apenas locais? Pra isso vamos ver o limite da função quando x vai para ±   ∞ .

lim x →   + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x →   + ∞ = x 3 -   3 x - 2 = ∞

lim x →   - ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x →   - ∞ = x 3 -   3 x - 2 = - ∞

Então na verdade essa função chega a valores menores que aquele mínimo, e a valores maiores que aquele máximo, mas tendem a infinito nesses casos

Chegamos à conclusão de quem a função não tem máximos e mínimos.

Passo 3

(c)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

  f ' x = e x x 2   '

Pela regra da derivada da divisão:

f ' x = e x x 2   ' = e x ' x 2 - e x x 2 ' x 2 2

f ' x = e x x 2 - 2 x e x x 4   = e x x 4   ( x 2 - 2 x )

Igualando a zero:

f ' x = e x x 4   x 2 - 2 x = 0                       ⇒         x = 0   o u   x = 2

Mas como x está no denominador, não poder ser zero, ficamos apenas com x = 2

Achando f ( 2 )

f x = e x x 2               ⇒ x = 2       f 2 = e 2 2 2           ∴           f 2 = e 2 4

Achamos então m = e 2 4 para x = 2 . Mas será que é um mínimo absoluto?

Quando x assume valores extremamente grandes positivos nossa função tende para infinito, então não temos máximos absolutos no intervalo.

Passo 4

(d)

Primeiro vamos achar os pontos críticos, derivando a função e igualando sua derivada a zero:

f ' ( x )   =   ( x x ) '  

Como a b = e b ln ⁡ a

f ' ( x )   =   ( e x ln ⁡ x   ) '

f ' x = x ln ⁡ x   ' ( e x ln ⁡ x )

f ' x = x ' ln ⁡ x + x ( ln ⁡ x ) '     ( e x ln ⁡ x )

f ' x = ln ⁡ x + x 1 x ( e x ln ⁡ x )

f ' x = ln ⁡ x + 1 ( e x ln ⁡ x )

Igualando a zero:

f ' x = ln ⁡ x + 1 e x ln ⁡ x = 0           ⇒               ln ⁡ x = - 1               ∴             x = 1 e      

Observe que para valores de x muito grandes a função tende a ir pra infinito, então não temos máximos absolutos.

Para mínimos:

m = e - 1 / e   q u a n d o   x = 1 e

Resposta

(a) não há máximo; m i n   =   - 13 / 4 em x   =   3 / 2

(b) não há máximos ou mínimos

(c) não há máximo; m   =   e 2 / 4 em x   =   2

(d) não há máximo;   m i n   =   e - 1 e em x   =   1 / e

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Considere a curva y = 1 - x 2,0 ≤ x ≤ 1 . Traçar uma tangente à curva tal que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados seja mínima.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).e) f x = x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + 1
Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).c) h x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1
Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).f) g x = x 2 e - 5 x
Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).a) f x = x 4 4 - x 3 - 2 x 2 + 3