Enunciado

Considere a curva y = 1 - x 2   ,   0 ≤ x ≤ 1 . Traçar uma tangente à curva tal que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados seja mínima.

Passo 1

Derivando a equação, achamos a inclinação m da reta em função do ponto p a partir do qual a tangente é traçada:

d y d x = - 2 x

m = - 2 p

Vamos dizer que a reta tangente é dada pela seguinte equação:

y = m x + n

Passo 2

Já sabemos m , agora vamos obter n substituindo o ponto p ,   1 - p 2 , pois ele faz parte da curva y = 1 - x 2 :

1 - p 2 = - 2 p p + n

n = 1 + p 2

Assim, a reta tangente à curva no ponto p terá a seguinte equação:

y = - 2 p x + 1 + p 2

Passo 3

Como o triângulo é formado com os eixos coordenados, ele será retângulo com catetos medindo a e b , considerando que a reta toca os eixos coordenados em 0 ,   a e b ,   0 :

a = - 2 p 0 + 1 + p 2

a = 1 + p 2

0 = - 2 p b + 1 + p 2

b = 1 + p 2 2 p

Desse modo, podemos escrever a área A do triângulo como uma função apenas de p :

A = a b = 1 + p 2 1 + p 2 2 p

A p = p 4 + 2 p 2 + 1 2 p

A p = p 3 2 + p + 1 2 p

Passo 4

Agora, para achar qual ponto p nos dá a área mínima, vamos encontrar o ponto de mínimo global da função A p , beleza? Então, derivamos e igualamos a 0 :

A ' p = 3 p 2 2 + 1 - 1 2 p 2

3 p 2 2 + 1 - 1 2 p 2 = 0

Multiplicamos toda a equação por 2 p 2 :

3 p 2 2 + 2 p 2 - 1 = 0

Resolvemos a equação do 2 º grau na variável p 2 , desprezando a raiz negativa:

p 2 = - 2 + 16 6 = 1 3

p = 3 3

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função A p em p = 3 3 :

A 3 3 = 3 3 2 + 3 3 + 3 2 ≈ 4

Note que A 0 → + ∞ e A 1 = 1 2 + 1 + 1 2 = 2 , onde 0 e 1 são os extremos do domínio da função A p . Assim, p = 3 3 é o ponto que resulta no maior valor da área A p .

Logo, a reta traçada deve ser tangente à curva no ponto de abscissa p = 3 3 .

Resposta

Tangente no ponto de abscissa p = 3 3

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