Enunciado

Encontre um número no intervalo 1 2 , 3 2 tal que a soma do número com seu recíproco seja

(a)a menor possível

(b)a maior possível

Passo 1

Primeiro, temos que saber que um número e seu recíproco nada mais são que um valor x e 1 x . Ou seja, seu inverso.

Aqui, temos um problema de otimização, onde queremos descobrir o valor de x que, quando somado a 1 x vai resultar, dentro do intervalo informado, no maior e no menor valor possível.

Passo 2

Pra isso, tomamos como nossa função o seguinte:

f x = x + 1 x

Como é um problema de otimização, vamos derivar essa função e igualar a derivada a zero. Nisso, vamos achar o(s) valor(es) de x que corresponde(m) ao(s) ponto(s) crítico(s).

Ou seja, onde a função assume o valor máximo, ou o valor mínimo. Derivando, temos:

f ' x = 1 - 1 x 2

Igualamos isso a zero:

1 - 1 x 2 = 0

1 x 2 = 1

x 2 = 1

x = - 1 ou x = + 1

Como estamos no intervalo 1 2 , 3 2 , só nos interessa x = + 1 .

Passo 3

Já conhecemos nosso ponto crítico, em x = 1 . Ainda falta saber se ele é ponto de mínimo ou de máximo. Descobrimos isso aplicando os extremos do intervalo, 1 2 e 3 2 em f ( x ) , assim como também aplicamos 1 , e comparamos os resultados.

f ( 1 / 2 ) = 1 2 + 2 = 2,5

f 1 = 1 + 1 1 = 2

f ( 3 / 2 ) = 3 2 + 2 ≅ 2 , 17

Como f ( 1 ) nos dá o menor resultado, temos que o ponto crítico x = 1 é ponto de mínimo. Assim, respondemos a subquestão (a), sendo x = 1 , no intervalo avaliado, o número que somado a seu recíproco dá o menor resultado.

Agora, como f ( 1 / 2 ) , que é a função calculada em um dos extremos do intervalo, nos deu o maior resultado, temos que x = 1 2 é, dentro do intervalo, o número que somado a seu recíproco dá o maior resultado.

Resposta

(a) x = 1

(b) x = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. g x = x
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. h