Enunciado

Uma caixa de base quadrada é mais alta do que larga. Para poder mandá-la pelo correio dos EUA, sua altura e o perímetro da base devem somar não mais que 108 polegadas. Qual é o volume máximo dessa caixa?

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Vamos precisar aqui determinar as dimensões da caixa que vão nos dar o volume máximo que ela pode ter, dentro das normas explicitadas.

Passo 2

Escrevemos a fórmula pro volume V de uma caixa. Consideremos x como o lado da base quadrada e h a altura da caixa. Temos então:

V = x 2 ∙ h

Temos como norma que a soma entre o perímetro da base (soma dos lados, equivalendo a 4 x ) e a altura da caixa não pode ultrapassar 108 polegadas. Escrevemos isso da seguinte forma:

4 x + h = 108

Vamos isolar h e escrevê-la em função de x , assim:

h = 108 - 4 x

E isso pra quê?

Passo 3

Fazemos isso pra pegarmos essa expressão e substituí-la na expressão pro volume V . Reescrevemos a expressão, agora apenas em função de x , da seguinte maneira:

V ( x ) = x 2 ∙ ( 108 - 4 x )

V x = 108 x 2 - 4 x 3

Assim, conseguimos uma função de x que podemos analisar os pontos de máximo e mínimo, que são os pontos de derivada nula.

Então, vamos derivar a função, igualá-la a zero e determinar os valores de x que correspondem aos pontos críticos. Teremos:

V ' x = 216 x - 12 x 2

Igualamos a zero e teremos:

216 x - 12 x 2 = 0

x ∙ 216 - 12 x = 0

x = 0 ou 216 - 12 x = 0

Logo:

12 x = 216

x = 18

Passo 4

Temos dois pontos críticos, e precisaríamos determinar qual representa o ponto de máximo, pelo teste da derivada segunda.

Mas podemos pular esse trabalho e afirmar que nosso ponto de máximo é x = 18 , e só poderia ser x = 18 porque não faz sentido x valer zero, já que representa uma dimensão, precisa ter valor positivo e não nulo!

Assim, já tendo x , determinamos h pela expressão que já temos:

h = 108 - 4 x

h = 108 - 4 ∙ 18

h = 36

Resposta

São as dimensões x = 18 e h = 36 .

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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. h
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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. F
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