Enunciado

Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2 . 00 0   c m 3 . O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo.

Passo 1

Vamos escrever a expressão para o volume do paralelepípedo, considerando o lado da base quadrada como x e a altura como y . Temos:

V = x 2 y = 200 0

Vamos agora determinar uma expressão para o custo de confecção do paralelepípedo.

Vamos pensar: precisamos de uma base, uma tampa (que são exatamente iguais) e as 4 laterais, todas iguais entre si. Uma ilustração pode ajudar:

A base e a tampa, que são iguais, tem áreas equivalentes a x 2 . Como é uma base e uma tampa, temos o custo duplicado, que será:

2 ∙ x 2 ∙ 2 c = 2 x 2 ∙ 2 c = 4 x 2 c

onde c é o custo do centímetro quadrado do material.

Os 4 lados, que são retangulares, de área x y , vão ter um custo que é a metade do custo da base (e da tampa):

4 ∙ x ∙ y ∙ c = 4 x y c

A expressão pro custo total C do paralelepípedo pode ser escrita pela soma dessas expressões, que vai ser:

C = 4 x 2 c + 4 x y c

Passo 2

Temos uma expressão pro custo que depende de duas variáveis, x e y . Podemos fazer ela depender só de uma, como x , pela expressão do volume V . Isolamos y e temos:

y = 2 00 0 x 2

Agora, substituímos essa sentença na expressão do custo, pra termos um C ( x ) :

C x = 4 x 2 c + 4 x 2000 x 2 c

C x = 4 x 2 c + 8000 x c

Passo 3

Como precisamos determinar o menor custo possível e já temos uma função pro custo, vamos derivá-la, igualar a derivada a zero e determinar assim os pontos críticos, que são pontos de máximo ou de mínimo da função.

No caso, nos interessa o ponto de mínimo. O valor de x associado ao ponto de mínimo vai equivaler ao comprimento da base (e da tampa) do paralelepípedo de menor custo possível.

Derivando, (lembrando que c , o custo, é uma constante) temos:

C ' x = 8 x c - 8000 x 2 c

Igualamos a zero:

8 x c - 8000 x 2 c = 0

8 x c = 8000 x 2 c

8 x 3 = 8000

x 3 = 1 000

Tiramos as raízes cúbicas de ambos os lados:

∴ x = 10

Passo 4

Determinamos x . Agora precisamos de y , que obtemos facilmente pela expressão que já temos:

y = 2 00 0 x 2

y = 2 00 0 100

∴ y = 2 0

Resposta

São as dimensões x = 10   c m e y = 2 0   c m .

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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
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Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
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