Enunciado

Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral.

(a) ∫ 2 + ∞ x x 5 + 1 d x

Passo 1

Relembrando, o exercício 52 fala sobre o teste de comparação para integrais imprórprias. Como ele funciona?

Se f e g forem contínuas e

0 ≤ f x ≤ g ( x )

E isso acontecer dentro do intervalo onde x ≥ a , vamos dizer que:

- Se ∫ a + ∞ f x d x diverge, então ∫ a + ∞ g ( x ) d x diverge.

- Se ∫ a + ∞ g x d x converge, então ∫ a + ∞ f ( x ) d x converge e ∫ a + ∞ f x d x ≤ ∫ a + ∞ g x d x .

A ideia aqui é achar uma função que limita nosso integrando por baixo ou por cima, no intervalo de integração, e testar para ver se a integral dessa função, com os nossos extremos de integração, diverge ou converge.

Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Nosso integrando é:

x x 5 + 1

Vamos achar uma função que limita ela por baixo ou por cima, no intervalo x ≥ 2 , já que 2 é o extremo de integração inferior.

Como o valor de x sempre vai ser maior que 1 , podemos escrever:

1 x 5 + 1 < 1 x 5

Agora vamos brincar um pouco com essa inequação:

1 x 5 + 1 < 1 x 5 ∴ x x 5 + 1 < x x 5

Repara que nossa função apareceu no primeiro termo e que a gente pode simplificar o último termo. Vamos escrever:

x x 5 + 1 < x x 5 ∴ f x = x x 5 + 1 < 1 x 4 = g ( x )

Logo, nossa função limitante é g x = 1 / x 4 .

Passo 3

A gente vai calcular a integral dessa função com os nossos extremos de integração e ver se ela converge ou diverge.

∫ 2 + ∞ 1 x 4 d x = lim l → ∞ ⁡ ∫ 2 l 1 x 4 d x = lim l → ∞ ⁡ - 1 3 l 3 + 1 24 → 1 24

Ih a integral converge. Como nosso integrando é menor que essa função, dentro do intervalo de integração, a nossa integral

∫ 2 + ∞ x x 5 + 1 d x

Também vai convergir. E a gente vai dizer que:

x x 5 + 1 < 1 x 4 ∴ ∫ 2 + ∞ x x 5 + 1 d x < ∫ 2 + ∞ 1 x 4 d x ∴ ∫ 2 + ∞ x x 5 + 1 d x < 1 24

Logo, o limitante superior para nossa integral é 1 / 24 .

Resposta

Converge.

∫ 2 + ∞ x x 5 + 1 d x < 1 24

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