Nos exercícios 71 a 74, calcule a derivada.

74) d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t 0 < x < (1 \* pi) / 2

Passo 1

O exercício solicita que calculemos a seguinte derivada:

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t

Para isso, utilizarmos o 1º Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a x f ( t )   d t = f ( x )

Agora, usaremos a regra da cadeia com u = sec ⁡ x

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t = d d u ∫ 1 u t 2 - 1   d t . d d x ( sec ⁡ x )  

Derivando sec ⁡ x :

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t = u 2 - 1 . sec ⁡ x   .   t g   x

Substituindo u = sec ⁡ x

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t = s e c 2 x - 1 . sec ⁡ x   .   t g   x

Mas: s e c 2 x - 1 = t g 2   x

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t = sec ⁡ x   .   t g 2   x

Resposta

d d x ∫ 1 sec ⁡ x t 2 - 1   d t = sec ⁡ x   .   t g 2   x

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