Enunciado

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.

y ' ' + 4 π 2 y = a + x ,         y 0 = 0 ,         y 1 = 0

Passo 1

A forma que queremos chegar quando reescrevemos a equação diferencial é:

- y ' ' = μ y + f ( x )

Observe que essa equação diferencia pode ser reescrita como

- y ' ' = 4 π 2 y - x - a

O que significa então que temos μ = 4 π 2 e f x = - x - a .

Além disso, podemos concluir ainda que μ = 4 π 2 é um autovalor correspondente à autofunção ϕ 1 x = 2   s e n   2 π x . Afinal, vimos no exercício 1 desta seção que as autofunções da equação homogênea y ' ' + λ y = 0 é:

ϕ 1 x = 2   s e n   λ x

Onde os autovalores λ ...

λ n = n 2 π 2

Viu só! De fato para n = 2 temos o nosso μ = π 2 .

De acordo com a teoria, a solução então só vai existir então se f x e   ϕ 1 ( x ) forem ortogonais, o que significa que:

∫ 0 1 f x ϕ 1 x d x   = 0

Substituindo f e ϕ ...

∫ 0 1 - x - a 2   s e n   2 π x     d x = 1 2 π

Igualando isso a 0 , resulta em:

1 2 π = 0    

ORA! Isso aí é um absurdo, néh? Isso significa que não existe a capaz de zerar essa integral! Logo, definimos que não existe solução para a EDO dada! :)

Resposta

Não existe a que dê uma solução para a EDO dada.

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30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 y 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a + x , y 0 = 0
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
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