Enunciado

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,               ( i )

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 ,                 β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0             i i

tem uma solução em termos de uma função de Green

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s                     i i i

Desde que λ = 0 não seja um autovalor de L y = λ y sujeita às condições de contorno i i . Além disso, G x ,   s é dada por

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                     i v

em que y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 , y 2 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   1 , e W ( y 1 ,   y 2 ) é o wronskiano de y 1 e y 2 .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que G ( x ,   s )   =   G ( s ,   x ) .

(e) Verifique se y   = ϕ ( x ) na Eq. (iii), com G ( x ,   s ) dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Passo 1

L e t r a   C :

Bem, a condição sobre as funções y 1 e y 2 que definem o wronskiano estão ambas relacionadas com a equação de Liouville quando L y = 0 :

L y = - p x y ' ' + q x y = f x   →

L y = 0

Então...

- p x y ' ' + q x y = 0       →

Calculando essa derivada pela regra do produto...

- p ' x   y ' + p x y ' ' +   q x y = 0     →

- p x y ' ' - p ' x y ' +   q x y = 0

Passando - p x dividindo todo mundo, cegamos a:

y ' ' + p ' x p x y ' - q x p x y = 0

Então, de acordo com o enunciado, y 1 e y 2 devem satisfazer essa equação e, além disso, estar relacionado com as condições iniciais do problema. Mas isso, não vem ao caso, o importante aqui é saber das duas formas de se calcular o wronskiano para duas soluções quaisquer dessa equação:

W y 1 ,   y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Essa é a forma mais clássica de se calcular o Wronskiano de duas funções, mas ele também pode ser dado pela equação:

W y 1 ,   y 2 = W 0 e - ∫ p ' x p x d x

Você se lembra dessa relação? W 0 é uma constante que depende do x 0 de partida das soluções. Bem, o legal dessa equação é que veja essa integral:

∫ p ' x p x d x

Uma primitiva para ela é:

ln ⁡ p x

Então...

W y 1 ,   y 2 = W 0 e - ln ⁡ p x →

W y 1 ,   y 2 = W 0 e ln ⁡ p x - 1   →

W y 1 ,   y 2 = W 0 p x

Multiplicando agora o Wronskiano por p x ...

p x W y 1 ,   y 2 = W 0

Veja então que de fato o produto é uma constante! A sua derivada então será:

p x W y 1 ,   y 2 ' = 0

Resposta

Questão de demonstração.

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