Enunciado

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial

- y ' ' = f x

pode ser escrita na forma

y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias.

B. Suponha que y   = ϕ ( x ) também satisfaz as condições de contorno   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0 . Mostre que, nesse caso,

c 1 = 0 ,             c 2 = ∫ 0 1 1 - s f s d s

C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), ϕ ( x ) pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 x s s - 1 f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

D. Definindo

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Mostre que a solução pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Passo 1

L e t r a   B :

Aqui é só pegar a nossa função solução...

y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

E substituir as condições iniciais dadas:

y 0 = 0       →

y 0 = c 1 + c 2 ⋅ 0 - ∫ 0 0 - s f s d s     →

Essa integral é 0 , pois estamos integrando de 0 a 0 , saca? Então...

y 0 = c 1

E como y 0 = 0 ...

c 1 = 0

Passo 2

Vejamos agora como fica a substituição da segunda condição:

y 1 =   0   →

y = c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Perceba que nem estamos mais considerando o c 1 . Então, agora trocando o x por 1 ...

y 1 = c 2 - ∫ 0 1 1 - s f s d s     →

c 2 - ∫ 0 1 1 - s f s d s = 0     →

c 2 = ∫ 0 1 1 - s f s d s

OPA! De fato é verdade também .

Resposta

Questão de demonstração.

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