Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = - 1 - 4 1 - 1 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessário determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Determinando os autovalores:

det ⁡ r ∙ I - P = 0

Em que P = - 1 - 4 1 - 1 :

det ⁡ r ∙ 1 0 0 1 - - 1 - 4 1 - 1 = 0

det ⁡ r + 1 4 - 1 r + 1 = 0

r 2 + 2 r + 5 = 0

r 1 = 4 i

r 2 = - 4 i

Determinando o autovetor:

r + 1 4 - 1 r + 1 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0 0

Colocando r = 4 i , temos:

- ξ 1 + ξ 2 ∙ 1 + 4 i = 0

ξ 2 ∙ 1 + 4 i = ξ 1

Temos que:

ξ 1 = 1 + 4 i 1

ξ 2 = 1 - 4 i 1

Após a determinação dos autovalores e autovetores aplicaremos a solução geral para o sistema e assim por final será possível encontrar a matriz fundamental.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = 4 i

ξ 1 = 1 + 4 i 1

r 2 = - 4 i

ξ 2 = 1 - 4 i 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Em que:

x ( 1 ) t = 1 + 4 i 1 ∙ e 4 i t

x ( 1 ) t = 1 + 4 i 1 ∙ ( cos ⁡ 4 t + i   s e n   4 t )

x 1 t = 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

E:

x 2 t = 1 - 4 i 1 ∙ e - 4 i t

x 2 t = 1 - 4 i 1 ∙ c o s   4 t + i   s e n 4 t

x 2 t = 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t + c 2 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 1 + 4 i 1 - 4 i 1   1

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ = 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

= 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t ∙ Ψ - 1 0

Resposta

a) Ψ t = 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t

b

) Φ = = 1 + 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 - i ∙ s e n 4 t 1 - 4 i ∙ cos ⁡ 4 t - 4 + i ∙ s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t cos ⁡ 4 t + i   s e n 4 t ∙ Ψ - 1 0

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