Enunciado

Em cada um dos Problemas 21 e 22, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t > 0.

t x ' = 2 - 5 1 - 2 x

Passo 1

Calculando os autovalores desse sistema teremos:

det ⁡ 2 - r - 5 1 - 2 - r = 0

2 - r - 2 - r + 5 = 0

r 2 + 2 - 2 r - 4 + 5 = 0

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Onde a solução para esse tipo de sistema como visto na seção passada é dada por:

x = ξ t r

E como vimos na questão anterior:

t a i = e   a i l n t = c o s ⁡ ( a ln ⁡ t ) + i s e n   ( a l n   t )

Passo 2

Portanto o autovetor para r = i será:

2 - i - 5 1 - 2 - i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Então a relação entre os dois ξ serão iguais a:

ξ 1 1 - 2 + i ξ 2 1 = 0

ξ 1 1 = 2 + i ξ 2 1

Logo o autovetor para esse r será:

ξ 1 = 2 + i 1

Passo 3

De modo que a solução para esse autovalor será:

x 1 = 2 + i 1 t i = 2 + i 1 ( cos ⁡ ln ⁡ t + i   s e n ( ln ⁡ t ) )

Arrumando a solução (parte real separada da imaginária) nós teremos:

x 1 = 2 cos ⁡ ( ln ⁡ t ) - s e n   ( ln ⁡ t ) c o s ⁡ ( ln ⁡ t ) + i 2 s e n ( ln ⁡ t ) + cos ⁡ ( ln ⁡ t ) s e n   ( ln ⁡ t )

Então a solução geral será:

x = c 1 2 cos ⁡ ( ln ⁡ t ) - s e n   ( ln ⁡ t ) c o s ⁡ ( ln ⁡ t ) + c 2 2 s e n ( ln ⁡ t ) + cos ⁡ ( ln ⁡ t ) s e n   ( ln ⁡ t )

Essa é somente um tipo de solução, outras podem ser possíveis (que no fundo significam a mesma coisa).

Resposta

x = c 1 2 cos ⁡ ( ln ⁡ t ) - s e n   ( ln ⁡ t ) c o s ⁡ ( ln ⁡ t ) + c 2 2 s e n ( ln ⁡ t ) + cos ⁡ ( ln ⁡ t ) s e n   ( ln ⁡ t )

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Seja em que J = λ 1 0 λ um número real arbitrário.(a) Encontre J 2 , J 3 e J 4 .(b) Use um argumento indutivo para mostrar que J n = λ n n λ n - 1 0 λ n (c) Determine e x p ( J t ) .(d) Use e x p ⁡ (
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