Enunciado

Os Problemas 32 e 33 tratam do circuito elétrico pelo sistema de equações diferenciais dado no Problema 21 da Seção 7.1 :

32- ( a ) Encontre a solução geral da Eq. (i) se R 1 = 1   Ω ,   R 2 = 3 5   Ω ,   L = 2 H e C = 2 3   F

( b ) Mostre que I t → 0 e V t → 0 quando t → ∞ , independente dos valores iniciais I ( 0 ) e V ( 0 ) .

Passo 1

O melhor passo aqui é substituir os valores que nos foi dado e fazer:

x = I V

Então:

x ' = - 1 2 - 1 2 3 2 - 5 2 x

Agora encontrando o auto valor teremos:

1 2 d e t - 1 2 - r - 1 2 3 2 - 5 2 - r = 0

- 1 2 - r - 5 2 - r + 3 4 = 0

r 2 + 5 2 + 1 2   r + 5 4 + 3 4 = 0

r 2 + 3 r + 2 = 0

Cujas raízes (resultados dos autovalores) serão:

r 1 = - 2 ; r 2 = - 1

Passo 2

Agora para encontrar os autovetores, começando para r 1 = - 2 :

- 1 2 + 2 - 1 2 3 2 - 5 2 + 2 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

- 3 2 - 1 2 3 2 - 1 2 ξ 1 1 ξ 2 2 = 0

Nessa teremos a relação entre ξ igual a:

3 ξ 1 1 = ξ 2 1

O que nos dá um auto vetor igual a:

ξ 1 = 1 3

Então a solução será:

x 1 = c 1 1 3 e - 2 t

Passo 3

Agora para r = - 1 teremos o autovetor ξ 2 :

- 1 2 + 1 - 1 2 3 2 - 5 2 + 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Logo:

1 2 - 1 2 3 2 - 3 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Então a relação nos dará o autovetor:

ξ 2 = 1 1

E a solução será:

x 2 = c 2 1 1 e - t

Logo a solução geral da solução será:

x = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

Mas como x = I V então temos:

I V = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

Passo 4

Como os expoentes são negativos (por conta dos autovalores) isso é e - t e e - 2 t , então quando t → ∞ toda a solução tenderá a zero. Isso independentemente do valor de c 1 e de c 2 ,

Resposta

a )   I V = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

b )   E x p l i c a ç ã o   d o   P a s s o   4

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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x c) A Eq. (iii) será satisfeita se ξ for um autovetor; logo, um modo de proceder é escolher ξ como uma combinação linear apropriada de ξ (
Seja J = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ Em que 1 é um numero real arbitrário.a)encontre J 2 , J 3 eJ 4 .b)Use um argumento indutivo para mostrar que: J n = λ n n λ n - 1 n n - 1 2 λ n - 2 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n c
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=ξ t 2 2 e 2 t+η t e 2 t+ζ e 2 t . Mostre que ξ, η e ζ satisfazem as equações: A–2 I ξ=0 ,A
Seja J = λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ Em que 1 é um numero real arbitrário.a)encontre J 2 , J 3 eJ 4 .b)Use um argumento indutivo para mostrar que: J n = λ n 0 0 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n c)Determine e x p ⁡ ( J t
Seja em que J = λ 1 0 λ um número real arbitrário.(a) Encontre J 2 , J 3 e J 4 .(b) Use um argumento indutivo para mostrar que J n = λ n n λ n - 1 0 λ n (c) Determine e x p ( J t ) .(d) Use e x p ⁡ (