Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x .

( a ) Esboce um retrato de fase do sistema

( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 )

( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos.

r 1 = - 1 ,       ξ 1 = - 1 2

r 2 = 2 ,   ξ 2 = 1 2

Passo 1

Vamos encontrar a matriz desse sistema para que possamos plotar os gráficos que a questão pede:

Supondo que a matriz é

A = a c b d

Nós teremos as seguintes relações com os autovalores e os autovetores:

a + 1 c b d + 1 - 1 2 = 0

a - 2 c b d - 2 1 2 = 0

A primeira matriz nos dá equações iguais a:

- a - 1 + 2 c = 0 → 2 c - a = 1

- b + 2 d + 2 = 0 → 2 d - b = - 2

Já a segunda:

a - 2 + 2 c = 0 → a + 2 c = 2

b + 2 d - 4 = 0 → 2 d + b = 4

Comparando a primeira equação com a terceira e a segunda com a quarta nós teremos:

c = 3 4 ; a = 1 2

d = 1 2 ; b = 3

Portanto a matriz A será igual a:

A = 1 / 2 3 / 4 3 1 / 2

Nos dando um retrato de fase igual a:

Passo 2

Fazendo x 1 = 2 e x 2 = 3 nós teremos :

Onde x 1 é a horizontal e x 2 a vertical. Porém como a reta é crescente onde está o ponto ( 2.3 ) então só teremos a parta a direita desse ponto. Ou seja:

Passo 3

Os valores de x 1 e x 2 em relação ao tempo podem ser encontradas da seguinte forma:

x 1 x 2 = c 1 - 1 2 e - t + c 2 1 2 e 2 t

Portanto:

x 1 = - c 1 e - t + c 2 e 2 t

x 2 = 2 c 1 e - t + 2 c 2 e 2 t

Como o ponto inicial é em t = 0 e x 1 = 2 e x 2 = 3 então:

2 = - c 1 + c 2

3 = 2 c 1 + 2 c 2

Resolvendo esse sistema teremos:

c 2 = 7 4

c 1 = - 1 4

Nos deixando com:

x 1 = 1 4 e - t + 7 4 e 2 t

x 2 = - 1 2 e - t + 7 2 c 2 e 2 t

Plotando esses dois gráficos nós teremos:

Onde a curva vermelha é x 1 e azul x 2 . E essa curva caracteriza um sistema instável. Assim como a figura do retrato de fase.

Resposta

a )   I m a g e m   d o   P a s s o   1

b )   S e g u n d a   I m a g e m   d o   P a s s o   2

c )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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