Enunciado

33- Considere o sistema precedente de equações diferenciais ( i )

( a ) Encontre uma condição que R 1 , R 2 , C e L têm que satisfazer para que os autovalores da matriz de coeficientes sejam reais e distintos

( b ) Se a condição encontrada no item ( a ) for satisfeita, mostre que ambos os autovalores serão negativos. Depois, mostre que I t → 0 e V t → 0 quando t → ∞ , independente das condições iniciais

( c ) Se a condição encontrada no item ( a ) não for satisfeita, então os autovalores serão complexos ou repetidos. Você acredita que I t → 0 e V t → 0 quando t → ∞ também nesses casos?

Sugestão: Uma abordagem possível para o item ( c ) é transformar o sistema ( i ) em uma única equação de segunda ordem. Vamos, também, discutir autovalores complexos e repetidos nas Seções 7.6 e 7.8 .

Passo 1

Basicamente se quer que faça a mesma coisa que na questão passada só que de maneira teórica, sem aplicar os valores, simbora?

O circuito tem o seguinte sistema:

d d t I V = - R 1 L - 1 L 1 C - 1 C R 2 I V

Resolvendo os autovalores nós temos:

det ⁡ - R 1 L - r - 1 L 1 C - 1 C R 2 - r = 0

Fazendo a determinante vamos obter:

- R 1 L - r - 1 C R 2 - r + 1 L C = 0

r 2 + R 1 L + 1 C R 2 r + R 1 L C R 2 + 1 L C = 0

r 2 + R 1 R 2 C + L L C R 2 r + R 1 + R 2 L C R 2 = 0

Para que essa equação tenha raízes reais e distintas nós temos que garantir que Δ de Bhaskara seja maior que xero, ou seja:

Δ = b 2 - 4 a c > 0

R 1 R 2 C + L L C R 2 2 - 4 R 1 + R 2 L C R 2 > 0

O que se reduz para:

R 1 L + 1 C R 2 2 - 4 R 1 L C R 2 + 1 L C > 0

R 1 2 L 2 + 2 R 1 L C R 2 + 1 C 2 R 2 2 - 4 R 1 L C R 2 - 4 L C > 0

R 1 2 L 2 - 2 R 1 L C R 2 + 1 C 2 R 2 2 - 4 L C > 0

R 1 L - 1 C R 2 2 - 4 L C > 0

E essa é a condição necessária para termos autovalores reais e distintos.

Passo 2

Como todos os valores são positivos então temos pela soma das raízes que:

E q = a x 2 + b x + c

s o m a = - b a

r 1 + r 2 = - R 1 R 2 C + L L C R 2

A soma dos valores é negativa.

E o produto:

p r o d u t o = c a

r 1 r 2 = R 1 + R 2 L C R 2

E o produto é positivo. Isso só pode acontecer se as duas raízes forem negativas. Pois:

n e g a t i v o + n e g a t i v o = n e g a t i v o

p o s i t i v o + p o s i t i v o = p o s i t v o

n e g a t i v o + p o s i t v o   o u   p o s i t i v o + n e g a t i v o = q u a l q u e r   u m   d o s   d o i s

n e g a t i v o × n e g a t i v o = p o s i t i v o

p o s i t i v o × p o s i t i v o = p o s i t i v o

n e g a t i v o × p o s i t v o   o u   p o s i t i v o × n e g a t i v o = n e g a t i v o

O único que bate as duas condições é caso os dois sejam negativos. Então a solução será alguma coisa do tipo:

I = c 1 ξ 1 1 e - r 1 t + c 1 ξ 2 1 e - r 2 t

V = c 1 ξ 1 2 e - r 1 t + c 2 ξ 2 2 e - r 2 t

Então se fizermos limite de t tendendo a zero, tanto I e tanto V tenderão a zero, configurando em um sistema estável. E isso não importa nem de c 1 e nem dos autovetores.

Passo 3

Para serem complexos e repetidos então Δ ≤ 0 ou seja:

R 1 L - 1 C R 2 2 - 4 L C ≤ 0

E essa parte será a parte imaginária a parte real será dada por:

- b 2 a = - R 1 R 2 C + L 2 L C R 2

E um sistema com pólos complexos e repetidos é um sistema oscilante.

Resposta

a )   R 1 L - 1 C R 2 2 - 4 L C > 0

b )   P a s s o   2

c )   s i s t e m a   o s c i l a n t e

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