Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

8. F s = 8 s 2 - 4 s + 12 s ( s 2 + 4 )

Passo 1

Precisamos escrever F ( s ) em frações parciais para fazer os termos ficarem o mais parecido possível com os valores das transformadas e inversas da tabela do livro:

8 s 2 - 4 s + 12 s ( s 2 + 4 ) = A s + B s + C s 2 + 4

Tirando MMC:

8 s 2 - 4 s + 12 s ( s 2 + 4 ) = A s 2 + 4 + B s 2 + C s s ( s 2 + 4 )

Cortando os denominadores:

8 s 2 - 4 s + 12 = A s 2 + 4 + B s 2 + C s

8 s 2 - 4 s + 12 = A s 2 + 4 A + B s 2 + C s

Arrumando:

8 s 2 - 4 s + 12 = ( A + B ) s 2 + C s + 4 A

Passo 2

Agora fazemos as comparações. Primeiro, vamos comparar os termos sem “ s ”:

12 = 4 A

A = 3

Agora, podemos comparar os termos com “ s ”:

- 4 = C

Opa, já achamos dois valores! Por último, vamos comparar os termos de “ s 2 ”:

A + B = 8

Substituindo o valor de A :

3 + B = 8

B = 5

Colocando A , B e C la na equação do início do Passo 1:

8 s 2 - 4 s + 12 s s 2 + 4 = 3 s + 5 s - 4 s 2 + 4

Arrumando:

8 s 2 - 4 s + 12 s s 2 + 4 = 3 1 s + 5 s s 2 + 4 - 2 2 s 2 + 4

Passo 3

Como dá para ver cada fração corresponde a uma das transformadas da tabela:

L - 1 1 s = 1

L - 1 s s 2 + 2 2 = c o s 2 t

L - 1 2 s 2 + 2 2 = s e n 2 t

A transformada inversa de F ( s ) fica então:

L - 1 F ( s ) = 3 + 5 c o s 2 t - 2 s e n 2 t

Resposta

L - 1 F ( s ) = 3 + 5 c o s 2 t - 2 s e n 2 t

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