Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') - y^' - 2 y = c o s h 2 t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') - y^' - 2 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Obs: Lembre-se que

c o s h t = (e^t + e^(- t))/(2)

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

r^2 - r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = - 1 e c = - 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (- 1)^2 - 4 (1) (- 2)

Delta = 9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- ( - 1 ) +- sqrt(9))/(2 ( 1 ))

r = (1 +- 3)/(2)

r_1 = (1 - 3)/(2) = - 1

e

r_2 = (1 + 3)/(2) = 2

Passo 3

Como Delta = 9 > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^(- t) + C_2 e^(2 t)

Passo 4

Lembrando que

y^(' ') - y^' - 2 y = c o s h 2 t = (e^(2 t) + e^(- 2 t))/(2)

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = y_p 1 + y_p 2

Onde,

y_p 1 = A t e^(2 t)

Que satisfaz a equação

y ' '_p 1 - y '_p 1 - 2 y_p 1 = (e^(2 t))/(2)

y_p 2 = B e^(- 2 t)

Que satisfaz a equação

y ' '_p 2 - y '_p 2 - 2 y_p 2 = (e^(- 2 t))/(2)

Substituiremos y_p 1 na EDO do problema para assim, determinar a constante A.

y '_p 1 = A ( 1 + 2 t ) e^(2 t)

y ' '_p 1 = A ( 4 + 4 t ) e^(2 t)

Lembrando que, y ' '_p 1 - y '_p 1 - 2 y_p 1 = (e^(2 t))/(2)

A ( 4 + 4 t ) e^(2 t) - A ( 1 + 2 t ) e^(2 t) - 2 A t e^(2 t) = (e^(2 t))/(2)

3 A e^(2 t) = (e^(2 t))/(2)

3 A = (1)/(2)

A = (1)/(6)

Logo,

y_p 1 = (1)/(6) t e^(2 t)

Substituiremos y_p 2 na EDO do problema para assim, determinar a constantes B.

y '_p 2 = - 2 B e^(- 2 t)

y ' '_p 2 = 4 B e^(- 2 t)

Lembrando que, y ' '_p 2 - y '_p 2 - 2 y_p 2 = (e^(- 2 t))/(2)

4 B e^(- 2 t) - ( - 2 B e^(- 2 t) ) - 2 ( B e^(- 2 t) ) = (e^(- 2 t))/(2)

4 B e^(- 2 t) = (e^(- 2 t))/(2)

4 B = (1)/(2)

B = (1)/(8)

Logo,

y_p 2 = (1)/(8) e^(- 2 t)

Portanto, a solução particular da EDO será

y_p = (1)/(6) t e^(2 t) + (1)/(8) e^(- 2 t)

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(2 t) + (1)/(6) t e^(2 t) + (1)/(8) e^(- 2 t)

Resposta

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(2 t) + (1)/(6) t e^(2 t) + (1)/(8) e^(- 2 t)

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