Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' - y' - 2y = cosh 2t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' - y ' - 2 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Obs: Lembre-se que

c o s h t =   e t +   e - t 2

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

r 2 - r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = - 1 e c = - 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   - 1 2 - 4 1 - 2

∆   =   9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - ( - 1 ) ± 9 2 ( 1 )

r = 1 ± 3 2

r 1 = 1 - 3 2 = - 1

e

r 2 = 1 + 3 2 = 2

Passo 3

Como ∆   =   9 >   0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 e 2 t

Passo 4

Lembrando que

y ' ' - y ' - 2 y =   c o s h 2 t =     e 2 t +   e - 2 t 2

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = y p 1 +   y p 2

Onde,

y p 1 = A t e 2 t  

Que satisfaz a equação

y ' ' p 1 - y ' p 1 - 2 y p 1 =   e 2 t 2

y p 2 = B e - 2 t

Que satisfaz a equação

y ' ' p 2 - y ' p 2 - 2 y p 2 =   e - 2 t 2

Substituiremos y p 1 na EDO do problema para assim, determinar a constante A.

y ' p 1 = A ( 1 + 2 t ) e 2 t

y ' ' p 1 = A ( 4 + 4 t ) e 2 t

Lembrando que, y ' ' p 1 - y ' p 1 - 2 y p 1 =   e 2 t 2

A ( 4 + 4 t ) e 2 t - A ( 1 + 2 t ) e 2 t - 2 A t e 2 t =   e 2 t 2

3 A e 2 t =   e 2 t 2

3 A =   1 2

A =   1 6

Logo,

y p 1 = 1 6 t e 2 t    

Substituiremos y p 2 na EDO do problema para assim, determinar a constantes B.

y ' p 2 = - 2 B e - 2 t

y ' ' p 2 = 4 B e - 2 t

Lembrando que, y ' ' p 2 - y ' p 2 - 2 y p 2 =   e - 2 t 2

4 B e - 2 t - ( - 2 B e - 2 t ) - 2 ( B e - 2 t ) =   e - 2 t 2

4 B e - 2 t =   e - 2 t 2

4 B =   1 2

B =   1 8

Logo,

y p 2 = 1 8 e - 2 t

Portanto, a solução particular da EDO será

y p = 1 6 t e 2 t +   1 8 e - 2 t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 e - t +   C 2 e 2 t +   1 6 t e 2 t +   1 8 e - 2 t  

Resposta

y =   C 1 e - t +   C 2 e 2 t +   1 6 t e 2 t +   1 8 e - 2 t  

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