Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

5. F s = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

O denominador na função é irredutível, o máximo que podemos fazer é completar quadrados, ficando o seguinte:

F s = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Podemos colocar o 2 em evidência no numerador também:

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 ( s + 1 ) s + 1 2 + 4

Passo 2

Agora se a gente substituir s + 1 por uma variável qualquer, tipo b , nossa função vai ficar com a seguinte cara:

2 b b 2 + 4

E usando a tabela das transformadas, a gente sabe que:

L - 1 2 b b 2 + 4 = 2 c o s 2 t

Passo 3

Mas como a gente ainda tem o s + 1 , podemos usar o seguinte:

L e a t f ( t ) = L f t s → s - a

Ou seja, quando s → s - a , podemos multiplicar a função por e a t , e isso vale para a transformada inversa, então:

L - 1 2 ( s + 1 ) ( s + 1 ) 2 + 4 = 2 e - t c o s 2 t

L - 1 F ( s ) = 2 e - t c o s 2 t

E essa vai ser a resposta da transformada que a questão pede

Resposta

L - 1 F ( s ) = 2 e - t c o s 2 t

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Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L - 1 2 s - 1 s 3 2