Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

4. x y ' ' + y ' - y = 0

Passo 1

a) Para mostrarmos que ela possui um ponto singular regular, escrevemos a equação como:

P x y ' ' + Q x y ' + R ( x ) y = 0

Quando x = 0 P x = 0 , dividimos então a equação toda por P ( x ) , multiplicamos tudo por x 2 aplicamos limites sobre cada termo que envolve razão de P ( x ) :

y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( 1 ) x = 1

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( - 1 ) x = lim x → 0 ⁡ x = 0

Como ambos os limites são finitos, existe uma singularidade em x = 0 .

Passo 2

b) Precisamos agora usar uma solução do tipo:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

Suas derivadas vão ser:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

Substituindo na E.D.O.:

x ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Multiplicando tudo por x , pois não queremos termos negativos nos expoentes:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 1 = 0

E agora deslocamos as nossas séries um termo para frente, para podermos escrever tudo em termos de x r + n , isso faz com que o primeiro termo das duas primeiras séries precise ser escrito por fora:

a 0 r 1 + r - 1 x r + ∑ n = 1 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 1 ∞ a n ( r + n ) x r + n - ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x r + n = 0

Colocamos tudo dentro de uma série só:

a 0 r 2 x r + ∑ n = 1 ∞ [ a n r + n 2 - a n - 1 ] x r + n = 0

Como a equação deve ser satisfeita para todo x então os coeficientes que multiplicam cada termo do polinômio devem ser iguais a zero, assim, a equação indicial vai ser:

r 2 = 0

r 1 = r 2 = 0

E a relação de recorrência, que tiramos da própria série, vai ser:

a n r + n 2 - a n - 1 = 0

Para a raiz r = 0 :

a n = a n - 1 n 2

Calculando alguns termos para sabermos como é o coeficiente a n em termos de a 0 :

a 1 = a 0 1 2

a 2 = a 1 2 2

a 3 = a 2 3 2

Substituindo um no outro:

a 3 = a 0 3 2 2 2 1 2 = a 0 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2

Podemos ver que a forma de reproduzir a n fica:

a n = a 0 n ! 2

Passo 3

c) Aqui as raízes são iguais r 1 = r 2 = 0 , então precisamos calcular uma solução só.

Como já sabemos o valor de a n nossa solução vai ser:

y = ∑ n = 1 ∞ 1 n ! 2 x n

Repare que omitimos a 0 .

Resposta

b   r 2 = 0

r 1 = r 2 = 0

a n = a 0 n ! 2

c   y = ∑ n = 0 ∞ a 0 n ! 2 x n

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