Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

3. x y ' ' + y = 0

Passo 1

a) Podemos ver que x = 0 é um ponto singular regular da equação já que zera o primeiro termo. Podemos mostrar isso através dos limites quando x → 0 :

Q x = 0

Então:

lim x → 0 ⁡ x Q x P x = 0

E como

R x = 1

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 x = 0

Como os dois limites são finitos em x = 0 , então x = 0 é um ponto singular.

Passo 2

b) Para encontrarmos a equação indicial, vamos precisar substituir a solução:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

E da sua segunda derivada, já que não temos termo com y ’ na EDO:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

Na equação diferencial:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Multiplicamos tudo por x :

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 1 = 0

E andamos com o índice uma vez na segunda série:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x r + n = 0

E fazemos o mesmo com a primeira para podermos colocar tudo dentro de uma série só, isso fará com que o primeiro termo da série fique para fora da soma:

a 0 r r - 1 x r + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 + a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n = 0

Já que a equação deve ser satisfeita para todo x então os coeficientes de cada termo são zero. Assim, temos a equação indicial:

r r - 1 = 0

Onde as raízes serão r 1 = 0 e r 2 = 1 .

E a relação de recorrência fica:

a n - 1 + a n r + n r + n - 1 = 0

a n = - a n - 1 ( r + n ) ( r + n - 1 )

Passo 3

c) Como as raízes diferem por um um inteiro, precisamos apenas encontrar a solução para a maior raiz r 2 = 1

Substituindo ela na relação de recorrência:

a n = - a n - 1 ( 1 + n ) n

E agora escrevemos alguns coeficientes para termos uma ideia da cara do termo geral:

a 1 = - a 0 ( 2 ) 1

a 2 = - a 1 ( 3 ) 2

a 3 = - a 2 ( 4 ) 3

Substituindo um no outro:

a 3 = a 1 ( 4 ) 3 ( 3 ) 2 = - a 0 ( 4 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 1

Vemos que o sinal alterna começando negativo, e que temos produtos do tipo fatorial no denominador, sendo que nos termos entre parêntesis o fatorial está uma unidade avançada em relação aos termos de fora, assim:

a n = - 1 n a 0 n ! n + 1 !

E a nossa solução fica:

y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n a 0 n ! n + 1 ! x 1 + n

Ou:

y = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 1 ! x n

Resposta

b   r r - 1 = 0

a n = - a n - 1 ( 1 + n ) n

r 1 = 0 ,     r 2 = 1

c   y = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n a 0 n ! n + 1 ! x n

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