Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x   =   0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x   >   0 )   correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.

2)

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 9 y = 0

Passo 1

c) Bem como foi calculado no item (b) temos a seguintes raízes r 1,2 = ± 1 3 .

Temos que a maior raiz r 1 = 1 3 . Correspondendo a reincidência da relação, temos escrever:

a n = - a n - 2 n + 1 3 2 - 1 9 = - a n - 2 n n + 2 3

Passo 2

Temos que os primeiros coeficientes da sequencia a n após a 1 são;

a 2 = - a 2 - 2 2 2 + 2 3 = - a 0 2 2 1 + 1 3

a 3 = - a 3 - 2 3 3 + 2 3 = 0

a 4 = - a 4 - 2   4 4 + 2 3 = a 0 2 2 ∙ 1 + 1 3 ∙ 2 2 ∙ 2 2 + 1 3 = a 0 2 4 ∙ 2 ∙ 1 + 1 3 ∙ 2 + 1 3

a 5 = - a 5 - 2     5 5 + 2 3 = - a 3 5 5 + 2 3 = - 0 5 5 + 2 3 = 0

Passo 3

Portanto, caso seguirmos calculando cada n , teríamos um padrão que podemos generalizar esta equação escolhendo a 0 = 1 , portanto nossa solução y é igual a:

y = y 1 = x 1 3 ∑ n - 0 ∞ a n x n =

= x 1 / 3 1 - x 2 2 2 1 + 1 3 + x 4 2 4 ∙ 2 ∙ 1 + 1 3 2 + 1 3 - x 6 2 6 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 + 1 3 2 + 1 3 + 3 + 1 3 + … + - 1 m ∙ x 2 m 2 2 m m ! 1 + 1 3 2 + 1 3 … m + 1 3 + …

Resposta

y = y 1 = x 1 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n =

= x 1 / 3 1 - x 2 2 2 1 + 1 3 + x 4 2 4 ∙ 2 ∙ 1 + 1 3 2 + 1 3 - x 6 2 6 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 + 1 3 2 + 1 3 + 3 + 1 3 + … + - 1 m ∙ x 2 m 2 2 m m ! 1 + 1 3 2 + 1 3 … m + 1 3 + …

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