Enunciado

Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.

16. y’’-x²y’+xy = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n . Substituindo na equação diferencial, teremos:

y ' ' - x 2 y ' + x y = 2 c 2 + 6 c 3 + c 0 + ∑ k = 1 ∞ k + 3 k + 2 c k + 3 - k - 1 c k x k + 1 = 0

Com a implicação de que c 2 = 0 e c 3 =   - c 0 6   e   c k + 3 = k - 1 k + 3 k + 2 c k ,   c o m   k = 1 , 2,3 , …

Passo 2

Escolhendo c0=1 e c1=0, obtemos c2=-1/6, c4=c7=c10=...=0, c5=c8=c11=...=0 e c6=-1/90, e assim continua.

Escolhendo c0=0 e c1=1, temos c3=c6=c9=...=0, c4=c7=c10=...=0, c5=c8=c11=...=0, e assim continua.

Logo, encontramos as duas soluções:

y 1 = c 0 1 - 1 6 x 3 - 1 90 x 6 - …

E

y 2 = c 1 x .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = c 0 1 - 1 6 x 3 - 1 90 x 6 - … e y 2 = c 1 x .

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