Enunciado

Use o método de Frobenius para obter uma solução para a equação de Bessel xy’’+y’+xy=0.

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x y ' ' + y ' + x y = r ² c 0 x r + r 2 + r - 2 c 1 x r + 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r k + r - 1 c k + ( k + r ) c k + c k - 2 x k + r = 0 , o que implica:

r ² = 0 , ( r + 1 ) ²   c 1 = 0 e ( k + r ) ² c k + c k - 2 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r1=r2=0, então a constante será c1=0 e a constante de k será:

c k = - c k - 2 k 2 ,   c o m   k = 2,3 , 4 , …  

Então, temos que

c 2 = - 1 4 c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 64 c 0

c 6 = - 1 2,304 c 0

Passo 3

Assim, encontramos os valores de y1 pedido pelo exercício.

y 1 = C 0 1 - 1 4 x 2 + 1 64 x 4 - 1 2,304 x 6 + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 0 1 - 1 4 x 2 + 1 64 x 4 - 1 2,304 x 6 + … .

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Exercícios de Livros Relacionados

Se x = 0 é uma singularidade regular, use (12) em (2) para mostrar que (13) é a equação indicial obtida pelo método de Frobenius.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 3 y ' ' + y = 0
(a) Mostre que a equação diferencial x 2 y ' ' - 4 y = 0 tem uma singularidade no infinito. [Sugestão: Veja página 328.](b) Classifique o ponto singular no infinito como regular ou irregular.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 2 y ' ' - y ' + y = 0
Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =