Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 10, suponha que todos os autovalores são reais.

(a) Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.

(b) Determine se λ   =   0 é um autovalor.

(c) Encontre valores aproximados para λ 1 e λ 2 , os dois autovalores não nulos de menor módulo.

(d) Estime λ n para valores grandes de n.

y ' ' + λ y = 0 ,     y 0 = 0 ,     y π + y ' π = 0

Passo 1

A equação característica da equação diferencial y ' ' + λ y = 0 será igual a:

r 2 + λ = 0

r = ± λ i

Onde r são os autovalores da função. A solução será igual a:

y = c 1 s e n λ x + c 2 c o s ⁡ ( λ x )

E a equação de y ' será:

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n   ( λ x )

Isso considerando que λ ≠ 0

Passo 2

Considerando que λ = 0 nós teremos:

y ' ' = 0

Integrando duas vezes a equação nós temos que:

y = c 1 x + c 2

E que y ' será:

y ' = c 1

Então se aplicando a condição de contorno temos que:

y 0 = c 2 = 0

E :

  y π + y ' π = 0

c 1 π + c 2 + c 1 = 0

1 + π c 1 = 0 → c 1 = 0

Isso é, só teremos a solução trivial, portanto λ não é um autovalor. Pois o autovalor tem uma solução não trivial.

Passo 3

Aplicando a primeira condição de contorno (na equação encontrada no passo 1) vemos que:

y 0 = c 1 s e n λ ⋅ 0 + c 2 c o s ⁡ ( λ ⋅ 0 )

y 0 = c 2 = 0

Aplicando agora a segunda condição de contorno (sabendo que c 2 = 0 )

c 1 s e n λ π + λ c 1 cos ⁡ λ π = 0

c 1 s e n λ π + λ cos ⁡ λ π = 0

E sabendo que c 1 ≠ 0 então o termo λ   será igual a:

s e n λ π + λ cos ⁡ λ π = 0

λ = - s e n λ π cos ⁡ λ π = - tan ⁡ λ π

E como c 2 = 0 nós podemos dizer que a autofunção será dada por:

y = ϕ n ( x ) = c 2 s e n ( λ x )

Passo 4

Para fazer a letra c nós precisamos plotar os gráficos de:

y = λ

E de

y = - t a n ⁡ ( λ π )

E comparar quando os dois gráficos se igualam

E os dois primeiros λ (valores na horizontal) estão em:

λ 1 = 0.62

λ 2 = 2.794

Passo 5

Outros valores de λ podem ser dados por:

λ 3 = 6.845

λ 4 = 12.863

λ 5 = 20.872

Ignorando os decimais é como se tivéssemos a sequência:

0,2 , 6,12,20 , …

E uma boa aproximação para essa sequência será:

λ n = 2 n - 1 2 4

Para n = 1,2 , 3 …

Essa sequência tem muito a ver com o exemplo 1 desse capítulo.

Resposta

a ) ϕ n x = c 2 s e n λ x   o n d e   λ = - tan ⁡ λ π

b )   N ã o ,   e x p l i c a ç ã o   d o   p a s s o   2 .

c ) λ 1 = 0.62 ; λ 2 = 2.794

d )   λ n = 2 n - 1 2 4

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