Enunciado

Considere o problema de valores de contorno

y ' ' - 2 y ' + 1 + λ y = 0 ,       y 0 = 0 ,     y 1 = 0

( a ) Defina uma nova variável dependente u pela relação y = s x u . Determine s ( x ) de modo que a equação diferencial para u não tenha termo em u ' .

( b ) Resolva o problema de valores de contorno para u e determine, assim, os autovalores e autofunções do problema original. Suponha que todos os autovalores são reais

( c ) Resolva também o problema diretamente (sem definir u )

Passo 1

Cara, lê com calma ele quer uma variável y = s u e nos quer saber o valor de s sem que nessa EDO sobre um termo u ' então substituindo tudo nós teremos:

s u ' ' - 2 s u ' + 1 + λ s u = 0

Nos dando (pela regra da cadeia):

s ' ' u + 2 s ' u ' + s u ' ' - 2 s ' u - 2 s u ' + 1 + λ s u = 0

Pois d 2 d x d y s u = d 2 d x d y s ⋅ u + d 2 d x d y u ⋅ s = 2 ( s u ) ' '

Isolando os termos em relação a u nós teremos:

u ' ' s + u ' 2 s ' - 2 s + u s ' ' - 2 s ' + 1 + λ s = 0

Anulando o termo de u ' nós teremos:

2 s ' = 2 s → s ' s = 1

Então:

s ' s = d s s d x = 1

d s s = d x

Integrando em x nós teremos:

∫ 0 s d s s = x

ln ⁡ s = x

s = e x

Passo 2

Agora aplicando s na equação abaixo nós teremos:

u ' ' s + u ' 2 s ' - 2 s + u s ' ' - 2 s ' + 1 + λ s = 0

e x u ' ' + u e x - 2 e x + 1 + λ e x = 0

u ' ' + u - 1 + 1 + λ = 0

u ' ' + u λ = 0

A solução para essa EDO será:

u = c 1 s e n λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando as condições de contorno nós teremos:

y 0 = 0

c 2 = 0

E

y 1 = 0

0 = c 1 s e n ( λ )

E assumindo que c 1 ≠ 0 então só podemos dizer que a função seno tem a seguinte função:

s e n n π = s e n ( λ )

Para n = 1,2 , 3 … , então λ = n π , tal que:

λ = n 2 π 2

Logo a autofunção de y será igual a:

ϕ = s u = e x   s e n ( n π x )

Passo 3

Resolvendo essa EDO sem precisar de s e u nós teremos:

y ' ' - 2 y ' + 1 + λ y = 0

Cuja equação característica será:

r 2 - 2 r + 1 + λ = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau teremos:

r 1 ; r 2 = 2 ± 4 - 4 ( 1 + λ ) 2

r 1 ; r 2 = 1 ± 1 - 1 - λ

r 1 ; r 2 = 1 ± - λ = 1 ± λ i

E como λ é um valor positivo então as raízes são complexas e imaginárias então a expressão da solução geral será igual a:

y = e 1 x c 1 s e n   λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando os parâmetros de contorno nós teremos:

0 = c 2

0 = e ( c 1 s e n λ

Aí a mesma ideia do passo anterior, onde c 1 não pode ser zero, então λ = n 2 π 2 .

Resposta

a )   s = e x

b )   ϕ = k e x s e n n π x ; λ = n 2 π 2 ; k   é   u m a   c o n s t a n t e   q u a l q u e r

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Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto. y ' ' + y ' + 2 y = 0 , y 0 = 0ey 1 = 0