Enunciado

Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0

y ' ' - 2 x y ' + λ y = 0   ( e q u a ç ã o   d e   H e r m i t e )

Passo 1

Da equação diferencial dada nós vemos que:

P x y ' ' + Q x y + R x y = 0

P x = 1

Q x = - 2 x

R x = λ

E como o fator integrante é dado por:

μ x = 1 P x   e ∫ x 0 x Q s P s d s

Onde a integral será igual a:

∫ x x 0 - 2 s   d s = - 2 s 2 2 x 0 x = - x 2 + x 0 2

Passo 2

Então o fator μ será igual a:

μ x = 1 ⋅ e - x 2 + x 0 2

Considerando x 0 como a nossa condição inicial e sendo como nula então nós teremos:

μ x = e - x 2

Passo 3

Então colocando a equação de Hermite na forma pedida nós temos:

μ x P x y ' ' + μ x R x y = 0

Ou seja:

e - x 2 y ' ' + e - x 2 λ y = 0

Resposta

μ x = e - x 2

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