Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 14, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t   →   ∞ . Se esse comportamento depender do valor incial de y   e m   t   =   0 , descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações não são da forma y ' = a y + b , e o comportamento é um pouco mais complicado do que o das soluções das equações no texto

y ' = y y - 2 2

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Para construir campos de direções não precisamos resolver nossa EDO, basta calcular a função dada f ( t , y )   muitas vezes.

Passo 2

Nesse caso a nossa função de duas variáveis f tem três raízes 0,2 e 2. O coeficiente angular que representa os segmentos no campo de direções e vai obedecer o sinal de y 3 - 4 y 2 + 4 y que é o gráfico de um polinômio do terceiro grau e para y ≥ 0 coeficiente é positivo, caso contrário, negativo, De modo que o campo tem o seguinte gráfico

Passo 3

Portanto, se 0 ≤ y ≤ 2   o coeficiente é positivo, logo estaria convergindo para 2.Para valores de y maiores que 2,o coeficiente é positivo, de modo que diverge de 2, e por último para valores negativos o coeficiente angular é negativo e portantoele diverge de zero.

Resposta

y → 2 para valores iniciais de 0 ≤ y ≤ 2

y   d i v e r g e   d e   2 para valores iniciais positivos e maiores que 2

y   d i v e r g e   d e   0 para valores iniciais negativos

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Ache a solução completa da equação diferencial (4) d s d t = 5 s .
Ache a solução completa da equação diferencial (13) d ² s d t ² = s e n 3 t + c o s 3 t ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g vs e c ² v ² ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial (7) d u d v = 3 v ( 1 + u 2 ) u .
Ache a solução completa da equação diferencial (11) d ² y d x ² = 5 x 2 + 1 ² ² .