Enunciado

Considere, novamente, o sistema no Exemplo 1 desta seção, no qual uma oscilação é gerada por um impulso unitário em t = 5. Suponha que desejamos colocar o sistema em repouso após exatamente um ciclo — ou seja, quando a resposta volta, pela primeira vez, à posição de equilíbrio movendo-se no sentido positivo.

  1. Determine o impulso k δ ( t - t 0 ) que deve ser aplicado ao sistema para alcançar esse objetivo. Note que k é o tamanho do impulso e t 0 é o instante de sua aplicação.
  2. Resolva o problema de valor inicial resultante e faça o gráfico de sua solução para confirmar que se comporta da maneira especificada.

Passo 1

O sistema no Exemplo 1 é governado pelo problema do valor inicial,

2 y ' ' + y ' + 2 y = δ ( t - 5 ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Resolver esse problema com a transformação de Laplace gera

y ( t ) = 2 15 e - ( t - 5 ) / 4 s e n [ 15 4 ( t - 5 ) ] H ( t - 5 ) .

Abaixo está um gráfico de y (t) versus t

O novo impulso precisa ser aplicado após a conclusão de uma oscilação. Use esse fato para determinar t 0 .

15 4 ( t - 5 ) = 2 π → t 0 = 5 + 8 π 15

k será encontrado mais tarde. No momento, resolva o problema do valor inicial com o segundo impulso aplicado.

2 y ' ' + y ' + 2 y = δ ( t - 5 ) + k δ ( t - t 0 ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 2

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, as derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { 2 y ' ' + y ' + 2 y } = ℒ { δ ( t - 5 ) + k δ ( t - t 0 ) }

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { 2 y ' ' + y ' + 2 y } = ℒ { δ ( t - 5 ) + k δ ( t - t 0 ) }

2 ℒ { y ' ' } + ℒ { y ' } + 2 ℒ { y } = ℒ { δ ( t - 5 ) } + k ℒ { δ ( t - t 0 ) }

2 [ s 2 Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + s Y ( s ) - y ( 0 ) + 2 Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 5 ) ] d t   +   k ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - t 0 ) ] d t

Passo 3

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

2 [ s ² Y ( s ) ] + s Y ( s ) + 2 Y ( s ) = e - 5 s + k e - s ( t 0 )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = 2 15 15 4 ( s + 1 4 ) ² + 15 16 e - 5 s + 2 k 15 15 4 ( s + 1 4 ) 2 + 15 16 e - s t 0

Passo 4

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 2 15 e - ( t - 5 ) / 4 s e n [ 15 4 ( t - 5 ) ] H ( t - 5 ) + 2 k 15 e - ( t - t 0 ) / 4 s e n [ 15 4 ( t - t 0 ) ] H ( t - t 0 )

Passo 5

Uma vez que t assume o valor de t 0 , a amplitude do primeiro termo é

2 15 e - ( t 0 - 5 ) / 4 = 2 15 e - 2 π / 15

e a amplitude do segundo termo é

2 k 15 e - ( t 0 - t 0 ) / 4 = 2 k 15

Para o segundo termo cancelar o primeiro, exigimos que

2 k 15 = - 2 15 e - 2 π / 15 → k =   - e - 2 π / 15

Com esse valor de k e o valor encontrado para t 0 , o gráfico de y (t) versus t exibe o resultado desejado.

Resposta

  1. y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 2 15 e - ( t - 5 ) / 4 s e n [ 15 4 ( t - 5 ) ] H ( t - 5 ) + 2 k 15 e - ( t - t 0 ) / 4 s e n [ 15 4 ( t - t 0 ) ] H ( t - t 0 )
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Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.12. y ' ' + 3 y ' + 2 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 0
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.14. y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 1
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.15. y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 2 ,y ' 0 = 0
Use o resultado d d t e t = e t e ( 1 ) desta seção para calcular L e t
Nos problemas 3 e 4, suponha que uma função y ( t ) tenha a propriedade y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 . Encontre a transformada de Laplace da expressão dada y ' ' + 3 y '