Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

11.   y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

  y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 0   →

r 3 - r 2 - r + 1 = 0

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 2 r - 1 - r - 1 = 0

Colocando em evidência então...

r - 1 r 2 - 1 = 0     →

r - 1 = 0         o u               r 2 - 1 = 0

Então, do primeiro parênteses...

r 1 = 1    

Da segunda condição...

r 2 - 1 = 0       →

r 2 = 1     →

r = ± 1           e n t ã o     →

r 2 = 1         e           r 3 = - 1

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 1 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = e t

  • Para r 2 = r 1 = 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...
  • y 2 = t e r 2 t = t e t

  • Para r 3 = - 1 como ele é único e real...

y 3 = e r 3 t = e - t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3   →

y = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 e - t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 e - t

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