Enunciado

1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:

a) y ' ' + y ' - 6 y = 0

b) D 2 + 2 D - 15 y = 0

c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0

d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0

e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0

f) D 2 + 6 D + 9 y = 0

g) D 2 - 10 D + 25 y = 0

h) D 2 - 4 D + 13 y = 0

i) D 2 + ω 2 y = 0   ω ∈ R

j) D 3 - D 2 + 9 D - 9 y = 0

Passo 1

j) A primeira coisa que vamos fazer é achar as raízes do polinômio característico, né?

r 3 - r 2 + 9 r - 9 = 0

Aqui podemos ir substituindo os valores ± 1 ,   ± 3 e ± 9   pra ver qual zera a equação, ne:

Então a raízes:

r 1 = 1

r 2 = - 3 i

r 3 = 3 i

Passo 2

Como temos uma raiz real, então uma parte da solução geral fica:

y 1 t = k e r 1 t

E como temos raízes complexas (na forma a + b i e a - b i ), então a outra parte da solução geral fica com a cara:

y 2 t = e a t k 1 cos ⁡ b t + k 2 s e n b t

Substituindo as raízes, a solução geral fica:

y t = k e 1 t + e 0 t k 1 cos ⁡ 3 t + k 2 s e n 3 t

y t = k e t + k 1 cos ⁡ 3 t + k 2 s e n 3 t

Resposta

y t = k e t + k 1 cos ⁡ 3 t + k 2 s e n 3 t

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