Enunciado

3. Provar que a função k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t é uma solução da equação

D - a D - b D - c y = 0 ,

substituindo diretamente e efetuando os cálculos.

Passo 1

Aqui ele já disse, né... é só substituiro e calcular. No final temos que achar “ 0 = 0 " .

Vamos fazendo por partes porque vai dar bastaaaaante trabalho, né, por mais simples que seja...

Vamos primiro multiplicar tudo dentro do operador e tals...

D - a D - b D - c y = 0

D 2 - a D - b D + a b D - c y = 0

D 3 - a + b + c D 2 + a b + a c + b c D - a b c f = 0

Passo 2

Agora vamos substituir a solução:

D 3 - a + b + c D 2 + a b + a c + b c D - a b c k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t = 0

D 3 k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t - a + b + c D 2 k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t + a b + a c + b c D k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t - a b c k 1 e a t + k 2 e b t + k 3 e c t = 0

Depois de fazer esse mooooonte de derivada e ir cortando as paradas... vai dar...

0 = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração

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Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 4 - 8 D 2 + 16
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Nos problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada. D 4 ,y = 10 x 3 - 2 x
Nos problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada. D 2 + 64 ,y = 2 . cos ⁡ 8 x - 5 . s e n ( 8 x )
Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada e - x + 2 x . e x - x 2 . e x