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Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.

12.

y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t ;     y π 2   = 2 ,   y ' α 2   = 1 ,   y ' ' α 2 = - 1

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y ' ' ' - y ' = 0

Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:

r 3 - r = 0

r ( r 2 - 1 ) = 0

r ( r + 1 ) ( r - 1 ) = 0

Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:

r = 0

r = 1

r = - 1

Passo 2

Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são r 1 = 0 , r 2 = 1 e r 3 = - 1 . Assim, vemos que 1 , cos ⁡ t e sen ⁡ t são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 + c 2 e t + c 3 e - t

Aqui  c 1 , c 2 e c 3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g t W m t W t d t

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W t = W y 1 , y 2 , … , y n t vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m t é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 4

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W 1 , e t , e - t = 1 e t e - t 1 ' e t ' e - t ' 1 ' ' e t ' ' e - t ' '

= 1 e t e - t 0 e t - e - t 0 e t e - t = 1 + 1 = 2

Passo 5

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 e t e - t 0 e t - e - t 1 e t e - t = - 1 - 1 = - 2

Passo 6

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = 1 0 e - t 0 0 - e - t 0 1 e - t = e - t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = 1 e t 0 0 e t 0 0 e t 1 = e t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = 1 ∫ t 0 t csc ⁡ t - 2 2 d t + e t ∫ t 0 t csc ⁡ t e - t 2 d t + e - t ∫ t 0 t csc ⁡ t e t 2 d t

Y P t = - ∫ t 0 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

Passo 9

Assim, podemos escrever a solução geral da seguinte forma:

y t = y C t + Y P t

Substituindo a solução da homogênea associada e a solução particular, temos:

y t = c 1 + c 2 e t + c 3 e - t - ∫ t 0 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

Onde c 1 , c 2 e c 3  são constantes arbitrárias.

Passo 10

Podemos encontrar as constantes c 1 , c 2 e c 3 utilizando as condições iniciais.

As condições iniciais fornecidas são:

y π 2   = 2 ,   y ' α 2   = 1 ,   y ' ' α 2 = - 1

Usando a primeira y π 2   = 2 condição temos:

2 = c 1 + c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 - ∫ π 2 π 2 csc ⁡ t d t + e π 2 2 ∫ π 2 π 2 e - t csc ⁡ t d t + e - π 2 2 ∫ π 2 π 2 e t csc ⁡ t d t

Temos que:

∫ π 2 π 2 f t d t = 0

Assim:

2 = c 1 + c 2 e π 2 + c 3 e - π 2

Passo 11

Usando a segunda y ' α 2   = 1 condição temos:

y ' t = c 2 e t - c 3 e - t + d d t - ∫ t 0 t csc ⁡ t d t + d d t e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + d d t e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

Usando o teorema fundamental do cálculo:

d d t - ∫ t 0 t f t d t = f t

Logo:

y ' t = c 2 e t - c 3 e - t - csc ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + csc ⁡ t 2 - e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t + csc ⁡ t 2

y ' t = c 2 e t - c 3 e - t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t - e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

1 = c 2 e π 2 - c 3 e - π 2 + e π 2 2 ∫ π 2 π 2 e - t csc ⁡ t d t - e - π 2 2 ∫ π 2 π 2 e t csc ⁡ t d t

Temos que:

∫ π 2 π 2 f t d t = 0

Assim:

1 = c 2 e π 2 - c 3 e - π 2

Passo 12

Usando a terceira y ' ' α 2 = - 1 condição temos:

y ' ' t = c 2 e t + c 3 e - t + d d t e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t - d d t e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

Usando o teorema fundamental do cálculo:

d d t - ∫ t 0 t f t d t = f t

Logo:

y ' t = c 2 e t + c 3 e - t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + csc ⁡ t 2 + e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t - csc ⁡ t 2

y ' t = c 2 e t + c 3 e - t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

- 1 = c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 + e π 2 2 ∫ π 2 π 2 e - t csc ⁡ t d t + e - π 2 2 ∫ π 2 π 2 e t csc ⁡ t d t

Temos que:

∫ π 2 π 2 f t d t = 0

Assim:

- 1 = c 2 e π 2 + c 3 e - π 2

Passo 13

Temos agora 3 equações e 3 variáveis:

c 1 + c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 = 2

c 2 e π 2 - c 3 e - π 2 = 1

c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 = - 1

Subtraindo a primeira equação da terceira, temos:

c 1 + c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 - c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 = 2 - - 1

c 1 = 3

Somando a segunda e terceira equação, temos:

c 2 e π 2 - c 3 e - π 2 + c 2 e π 2 + c 3 e - π 2 = 1 + - 1

2 c 2 e π 2 = 0

Substituindo o c 2 na terceira equação, temos:

0 e π 2 + c 3 e - π 2 = - 1

c 3 = - 1 e - π 2

c 3 = - e π 2

Passo 14

Portanto, a solução geral é obtida substituindo os valores encontras. Assim temos:

y t = c 1 + c 2 e t + c 3 e - t - ∫ t 0 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ t 0 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ t 0 t e t csc ⁡ t d t

y t = 3 + 0 e t + - e π 2 e - t - ∫ π 2 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ π 2 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ π 2 t e t csc ⁡ t d t

y t = 3 - e π 2 - t - ∫ π 2 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ π 2 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ π 2 t e t csc ⁡ t d t

Resposta

y t = 3 - e π 2 - t - ∫ π 2 t csc ⁡ t d t + e t 2 ∫ π 2 t e - t csc ⁡ t d t + e - t 2 ∫ π 2 t e t csc ⁡ t d t

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