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15. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

y 4 - y = g ( t )

Sugestão: As funções sen ⁡ t , cos ⁡ t , senh ⁡ t e cosh ⁡ t formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea.

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

y 4 - y = g ( t )

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y 4 - y = 0

Foi dito no enunciado que sen ⁡ t , cos ⁡ t , senh ⁡ t e cosh ⁡ t formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 cosh ⁡ t + c 2 senh ⁡ t + c 3 cos ⁡ t + c 4 sen ⁡ t

Passo 2

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W s = W y 1 , y 2 , … , y n s vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m s é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 3

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W cosh ⁡ t , senh ⁡ t , cos ⁡ t , sen ⁡ t = cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Pare encontrar o determinante, podemos usar o teorema de Laplace, mas antes vamos realizar duas operações que não mudam o determinante, mas fica mais simples de calcular. Assim temos:

cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t L 4 → L 4 - L 2 L 3 → L 3 - L 1 cosh ⁡ t senh ⁡ t 0 0 senh ⁡ t cosh ⁡ t 0 0 cos ⁡ t - sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t

Por Laplace:

cosh ⁡ t senh ⁡ t 0 0 senh ⁡ t cosh ⁡ t 0 0 cos ⁡ t - sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t

= cosh ⁡ t ⋅ cosh ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t - senh ⁡ t ⋅ senh ⁡ t 4 sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

= cosh 2 ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t - senh 2 ⁡ t 4 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

= cosh 2 ⁡ t 4 - senh 2 ⁡ t 4

= 4 cosh 2 ⁡ t - senh 2 ⁡ t

= 4

Passo 4

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 0,1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 0 0 1 senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Por Laplace:

= 1 ⋅ - 1 4 + 1 ⋅ senh ⁡ t sen 2 ⁡ t + senh ⁡ t cos 2 ⁡ t - cosh ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ t - - senh ⁡ t sen 2 ⁡ t - senh ⁡ t cos 2 ⁡ t - cosh ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ t

= - senh ⁡ t sen 2 ⁡ t + senh ⁡ t cos 2 ⁡ t - cosh ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ t + senh ⁡ t sen 2 ⁡ t + senh ⁡ t cos 2 ⁡ t + cosh ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ t

= - 2 senh ⁡ t sen 2 ⁡ t - 2 senh ⁡ t cos 2 ⁡ t

= - 2 senh ⁡ t sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

= - 2 senh ⁡ t

Passo 5

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0 , 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t 0 0 0 1 cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

= 2 cosh ⁡ t

Passo 6

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 0,1 ) . Assim temos:

W 3 t = cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t 0 0 0 1 sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

= 2 sen ⁡ t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 0,1 ) . Assim temos:

W 3 t = cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t senh ⁡ t cosh ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t 0 0 0 1

Utilizando o mesmo processo feito acima, temos que o determinante da matriz acima é:

= - 2 cos ⁡ t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Y P t = cosh ⁡ t ∫ t 0 t g s - 2 senh ⁡ s 4 d s + senh ⁡ t ∫ t 0 t g s 2 cosh ⁡ s 4 d s + cos ⁡ t ∫ t 0 t g s 2 sen ⁡ s 4 d s + sen ⁡ t ∫ t 0 t g s - 2 cos ⁡ s 4 d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t cosh ⁡ t - senh ⁡ s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t cosh ⁡ s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t cos ⁡ t sen ⁡ s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t sen ⁡ t - cos ⁡ s g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t cosh ⁡ s - cosh ⁡ t senh ⁡ s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t cos ⁡ t sen ⁡ s - sen ⁡ t cos ⁡ s g s d s

Usando as identidades apropriadas, as integrais podem ser combinadas para obter:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t - s g s d s + 1 2 ∫ t 0 t - sen ⁡ t - s g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s d s

Passo 9

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s d s

Resposta

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t senh ⁡ t - s - sen ⁡ t - s g s d s

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