Em cada um dos problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_0 .

y' = 2t \* y^2, y(0) = y_0

Passo 1

Vamos lá!!!

Tudo tranquilo? Pronto para mais uma resolução?

Hoje a gente tem a EDO:

y '   =   2 t y 2 ,     y ( 0 )   =     y 0

E queremos resolver ela com o valor inicial dado.

Temos a equação diferencial de primeiro grau e separável, sendo assim, basta agruparmos os termos e seus respectivos diferenciais em cada lado da igualdade e integrarmos de ambos os lados que conseguiremos resolver essa integral.

Passo 2

Sabemos que a função f t , y é separável, ou seja, conseguimos dividir em duas partes:

d y d t   = 2 t y 2  

d y y 2   = 2 t   d t

Agora, integrando dos dois lados, temos:

∫ d y y 2     =   ∫ 2 t   d t  

-   1 y   =   t 2 + C

A solução é:

y ( t )   =   y 0 1   -   y 0 t 2

A solução deixa de existir quando o denominador se anula:

1 y 0 - t 2 = 0

t 2 = 1 y 0

t = ± 1 y 0

Assim, a solução existe para:

t ≠ ± 1 y 0

Resposta

t ≠ ± 1 y 0

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