Em cada um dos problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y_0 .

y' + y^3 = 0, y(0) = y_0

Passo 1

Nesse problema temos que resolver o problema de valor inicial e determinar o intervalo que a solução existe dependendo do valor inicial.

y '   +   y 3   =   0 ,     y ( 0 )   =     y 0

Vamos lá!!!

Passo 2

Sabemos que a função f t , y é separável, ou seja, conseguimos dividir em duas partes:

y '   = -   y 3  

d y y 3   = -   d t  

Agora, integrando dos dois lados, temos:

∫ d y y 3     =   ∫ -   d t  

-   1 2 y 2   =   -   t + C

  1 2 y 2   =   t + C

A solução é:

y t   =   y 0 2 y 0 t   +   1

Resposta

y t   =   y 0 2 y 0 t   +   1

Quando 2 y 0 t   +   1 >   0 , ou seja, 2 y 0 t   >   - 1   , se y 0 > 0 , as soluções existirão para qualquer valor de t ;

Agora, se y 0 = 0 , a solução será: y ( t ) = 0 com todos os valores de t .

Porém, se as soluções existem quando y 0 < 0 , os valores de t serão:

t > - 1 / 2 y 0

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