Enunciado

Nos problemas 49 e 50, encontre valores de m   para que y = x m seja uma solução para cada equação diferencial.

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 4 y = 0

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bom, pra que y = x m seja solução da equação x 2 y ' ' - 6 x y ' + 4 y = 0 , a gente precisa que y ' ' , y ' e y satisfaça a equação.

Vamos começar calculando essas derivadas então...

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Beleza! Agora a gente vai substituir tudo isso na equação:

x 2 y ' ' + 6 x y ' + 4 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + 6 x m x m - 1 + 4 x m = 0

m 2 - m x m + 6 m x m + 4 x m = 0

x m m 2 - m + 6 m + 4 = 0

x m m 2 + 5 m + 4 = 0

Fazendo m 2 + 5 m + 4 , encontramos:

m = - 1   e   m = - 4

Essas são as soluções para m para que y seja solução da equação diferencial😉

Resposta

m = - 1   e   m = - 4

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