Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.

y ' ' + 4 y = sen ⁡ x                                     y 0 = 0   ;   y π = 0

Passo 1

Nesse caso, temos uma EDO linear não homogênea de segunda ordem e que possui a forma:

a y ' ' + b y ' + c y = g ( x )

A solução geral pode ser escrita como :

y = y h + y p

Onde y h é a parte homogênea e pode ser calculada por:

O primeiro passo para resolver os problemas de valores de contorno, precisamos encontrar a equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

A equação polinomial característica pode ser dada por:

r 2 + μ 2 = 0

As raízes de r serão:

r = ± i

E a solução geral será dada por:

y = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

A outra parte será a não homogênea, onde y p é a solução particular.

Passo 2

Primeiro faremos a parte homogênea da solução.

Aplicando com os valores fornecidos pelo problema, temos que:

y ' ' + 4 y = 0

Vamos encontrar a equação característica se μ = 4 :

r 2 + 4 = 0

r 2 = - 4

r = ± 2 i

A solução geral pode ser dada por:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x

Vamos aplicar o método do coeficiente indeterminado (já que não devemos esquecer do x ):

y p = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x  

A cos ⁡ x + B sen ⁡ x ' ' + 4 A cos ⁡ x + B sen ⁡ x = sen ⁡ x

- A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + 4 A cos ⁡ x + 4 B sen ⁡ x = sen ⁡ x

B = 0

A = 1 3

y p = 1 3 sen ⁡ x

A solução passa a ser:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x + 1 3 sen ⁡ x

Aplicando o primeiro termo inicial, temos que y 0 = 0 :

y = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + 1 3 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

Com a condição encontrada, teremos que:

y = c 2 sen ⁡ 2 x + 1 3 sen ⁡ x

  Então:

y π = 0

Substituindo a condição :

y = c 2 sen ⁡ 2 π + 1 3 sen ⁡ π = 0

0 = 0

A solução é valida para qualquer valor de c 2 .

Resposta

y = c 2 sen ⁡ 2 π + 1 3 sen ⁡ π = 0

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