Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.

y ' ' + 2 y = x                                     y 0 = 0   ;   y π = 0

Passo 1

Nesse caso, temos uma EDO linear não homogênea de segunda ordem e que possui a forma:

a y ' ' + b y ' + c y = g ( x )

A solução geral pode ser escrita como :

y = y h + y p

Onde y h é a parte homogênea e pode ser calculada por:

O primeiro passo para resolver os problemas de valores de contorno, precisamos encontrar a equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

A equação polinomial característica pode ser dada por:

r 2 + μ 2 = 0

As raízes de r serão:

r = ± i

E a solução geral será dada por:

y = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

A outra parte será a não homogênea, onde y p é a solução particular.

Passo 2

Primeiro faremos a parte homogênea da solução.

Aplicando com os valores fornecidos pelo problema, temos que:

y ' ' + 2 y = 0

Vamos encontrar a equação característica se μ = 2 :

r 2 + 2 = 0

r 2 = - 2

r = ± i 2

A solução geral pode ser dada por:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x

Vamos aplicar o método do coeficiente indeterminado (já que não devemos esquecer do x ):

y p = A x

A x ' ' + 2 A x = x

A = 1 2

y p = 1 2 x

A solução passa a ser:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sen ⁡ 2 x + 1 2 x

Aplicando o primeiro termo inicial, temos que y 0 = 0 :

y = c 1 cos ⁡ 2 . 0 + c 2 sen ⁡ 2 . 0 + 1 2 . 0

c 1 = 0

Com a condição encontrada, teremos que:

y = c 2 sen 2 ⁡ x + 1 2 x

Então:

y π = 0

Substituindo a condição :

y = c 2 sen ⁡ 2 π + π 2 = 0

c 2 = - π 2 sen ⁡ 2 π

A solução da equação será :

y = - π 2 sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 π + x 2

Resposta

y = - π 2 sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 π + x 2

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